Determine os coeficientes da representação em série de Fourier dos seguintes sinais:
e) x[n]=sumk=-infty^+infty p[n-k N], p[n]=-de2

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente achar os coeficientes da Série de Fourier discreta de um sinal periódico
x[n] ;=;sumk=-infty^+infty p[n - kN], p[n]=-de2
Conteúdo: Série de Fourier em tempo discreto.
O que a gente vai usar:
  1. Identificar o período am ;=;1Nsumn=0^N-1x[n],e^-j2pi mNn e os valores de em um período (por exemplo ).
  2. Aplicar a fórmula dos coeficientes

Passo 2

Primeiro vamos achar x[n]= 2, & n=0, -1,& n=1, 0, & 2<= n<= N-2, -1,& n=N-1 para . Como só vive em , no bloco de um período temos:
  • (porque ).
  • (checa na fórmula de ).
  • Para , não há impulso, então .
  • Em caímos em (via periodicidade), e .
Resumindo dentro de um período:

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula
am=1Nsumn=0^N-1x[n],e^-j2pi mNn
Só há três termos não nulos na soma (em am =1Nl( 2cdot e^-j2pi mN,0 +(-1),e^-j2pi mN,1 +(-1),e^-j2pi mN(N-1) r) ):

Passo 4

Observe que am =1Nl( 2 - e^-j2pi mN - e^,j2pi mN r) =1Nl(2-2cos2pi mNr) .
Então

Resposta

Os coeficientes da Série de Fourier são
boxed am =1Nl(2-2costfrac2pi mNr) ;=; 4N,sin^2!l(tfracpi mNr)

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