Determine os coeficientes da representação em série de Fourier dos seguintes sinais:
e) x(t)=sumk=-infty^+infty p(t-k 5), p(t)=u(t+1)-2 u(t)+u(t-1)

Passo 1

Tranquilo, vamos recapitular o que temos:
O sinal é a soma de ‘pulsos’ deslocados com período T=5
x(t)=sumk=-infty^inftyp(t-k5),, p(t)=u(t+1)-2u(t)+u(t-1)
Estamos em “Séries de Fourier” de sinais periódicos. Para resolver, precisamos saber:
1) O período T do sinal (já é 5).
2) A fórmula geral dos coeficientes da série complexa:
an=1Tintegralt0^t0+Tx(t)e^-j nomega0 t,dt, omega0=2piT
  1. Que p(t) só vale algo em -1, então a integral simplifica.

Passo 2

Antes de integrar, vamos olhar p(t) de perto:
  • Para t<-1 ou t>1, todos os degraus somam zero, logo p(t)=0.
  • Em -1: p(t)=1.
  • Em 0: p(t)=-1.
    Ou seja, p(t) é um pulso de altura +1 em [-1,0] e -1 em [0,1].
Como x(t) é a repetição disso a cada 5 segundos, na hora de calcular ak basta integrar sobre um período, e só dá contribuição de -1 a +1.

Passo 3

Escrevendo a fórmula (com omega0=tfrac2pi5):
ak=15integral-1^1p(t),e^-jkomega0 t,dt =15gl[integral-1^01cdot e^-jkomega0 tdt;+;integral0^1(-1),e^-jkomega0 tdtgr]

Passo 4

Agora calculamos cada integral:
  1. integral-1^0e^-jkomega0 tdt =e^-jkomega0 t-jkomega0|t=-1^0 =1 - e^,jkomega0-jkomega0
  2. integral0^1e^-jkomega0 tdt =e^-jkomega0 t-jkomega0|0^1 =e^-jkomega0-1-jkomega0
Então
ak =15gl[1 - e^jkomega0-jkomega0 ;-;e^-jkomega0-1-jkomega0gr]

Passo 5

Basta juntar termos e usar -1/j=j etc. O resultado fica, após simplificar:
ak =j5,komega0l(2 -l(e^jkomega0+e^-jkomega0r)r) =2jl(1-cos(komega0)r)5,komega0
Lembrando omega0=2pi/5, substituímos:
ak =2jl(1-cos(2pi k/5)r)5;k;(2pi/5) =jl(1-cos(2pi k/5)r)pi,k
E para k=0, a média é zero, a0=0 (o pulso é simétrico ímpar).

Resposta

Os coeficientes da série de Fourier complexa são
a0=0, ak=jl(1-cos!l(2pi k/5r)r)pi,k, kneq0

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