Verifique se
é um subcorpo de (
, .) em cada um dos casos.
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto
e pede: verificar se
é um subcorpo (subfield) do corpo
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Os coeficientes
e são inteiros ( ). - O conjunto
é composto por combinações lineares de e com coeficientes inteiros.
Passo 2
Relembrando, de forma bem direta e prática, o que significa ser subcorpo: um subconjunto
é subcorpo se, e somente se, satisfaz:
-
e . - É fechado em relação à adição: para todo
, . - Possui inversos aditivos: para todo
, . - É fechado em relação à multiplicação: para todo
, . - Possui inversos multiplicativos para elementos não nulos: para todo
com , .
Para provar (ou refutar) que
é subcorpo, vou checar cada uma dessas propriedades — passo a passo — até encontrar alguma que falhe (se houver). A mais problemática costuma ser a existência de inversos multiplicativos.
Passo 3
Verificar
e
em
.
-
é obtido com e : . Logo . -
é obtido com e : . Logo .
Esses dois pontos estão ok.
Passo 4
Fechamento pela adição.
Se
e
com
, então
Como soma de inteiros é inteiro, temos
e
. Portanto
. Fechamento pela adição confirmado.
Passo 5
Inverso aditivo.
O inverso aditivo de
é
e
. Logo
. Propriedade confirmada.
Passo 6
Fechamento pela multiplicação.
Multiplicando
e
obtemos
Os coeficientes
e
são inteiros, pois combinam produtos e somas de inteiros. Logo
. Portanto
é fechado sob multiplicação.
Até aqui
satisfaz todas as propriedades de um subanel contendo
(ou seja, é um subanel unital de
). Falta verificar os inversos multiplicativos.
Passo 7
Inversos multiplicativos (a parte crucial).
Se
e
, a técnica padrão é multiplicar por seu “conjugado”
para racionalizar. Observa-se:
Assim, se
(caso em que
), o inverso de
no corpo
é
Para que
pertença a
precisamos que esse quociente seja da forma
com
. Ou seja, precisamos que
e
sejam inteiros ao mesmo tempo, o que é uma condição forte (equivalente a exigir que
divida simultaneamente
e
).
Passo 8
Exemplo concreto que mostra a falha.
Tome
e
. Então
. Calculando o inverso:
Os coeficientes aqui são
e
, que NÃO são inteiros. Portanto
.
Esse contraexemplo basta para concluir que nem todo elemento não nulo de
tem inverso em
. Logo
não é um corpo.
Passo 9
Interpretação final e comentário amigo.
Concluímos que
é fechado sob adição, tem inversos aditivos, é fechado sob multiplicação e contém
, ou seja, é um subanel de
(especificamente o anel
). Mas falha na existência de inversos multiplicativos dentro de
(a menos que o inverso coincida por acaso com coeficientes inteiros, o que raramente acontece). Portanto
não é subcorpo de
. Não desanima: se em vez de coeficientes inteiros tivéssemos coeficientes racionais, isto é, se tivéssemos
então isso sim seria um subcorpo de
(o corpo
) — só para compararmos os dois casos e entender o porquê da falha aqui.
Resposta
Não.
não é um subcorpo de
(por exemplo,
).