Verifique se (5,+, \cdot) é um subcorpo de ( R_{1}+, .) em cada um dos casos.
S=\{a+b \cdot \sqrt{3} / a, b \in \mathbb{Z}\}

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto
S=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}
e pede: verificar se (S,+,\cdot) é um subcorpo (subfield) do corpo (\mathbb{R},+,\cdot).
Informações relevantes dadas:
  • Os coeficientes a e b são inteiros ( a,b\in\mathbb{Z}).
  • O conjunto S é composto por combinações lineares de 1 e \sqrt{3} com coeficientes inteiros.

Passo 2

Relembrando, de forma bem direta e prática, o que significa ser subcorpo: um subconjunto S\subseteq\mathbb{R} é subcorpo se, e somente se, satisfaz:
  1. 0\in S e 1\in S.
  2. É fechado em relação à adição: para todo x,y\in S, x+y\in S.
  3. Possui inversos aditivos: para todo x\in S, -x\in S.
  4. É fechado em relação à multiplicação: para todo x,y\in S, x\cdot y\in S.
  5. Possui inversos multiplicativos para elementos não nulos: para todo x\in S com x\neq0, x^{-1}\in S.
Para provar (ou refutar) que S é subcorpo, vou checar cada uma dessas propriedades — passo a passo — até encontrar alguma que falhe (se houver). A mais problemática costuma ser a existência de inversos multiplicativos.

Passo 3

Verificar 0 e 1 em S.
  • 0 é obtido com a=0 e b=0: 0+0\sqrt{3}=0. Logo 0\in S.
  • 1 é obtido com a=1 e b=0: 1+0\sqrt{3}=1. Logo 1\in S.
Esses dois pontos estão ok.

Passo 4

Fechamento pela adição.
Se x=a_1+b_1\sqrt{3} e y=a_2+b_2\sqrt{3} com a_i,b_i\in\mathbb{Z}, então
x+y=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\sqrt{3}.
Como soma de inteiros é inteiro, temos a_1+a_2\in\mathbb{Z} e b_1+b_2\in\mathbb{Z}. Portanto x+y\in S. Fechamento pela adição confirmado.

Passo 5

Inverso aditivo.
O inverso aditivo de x=a+b\sqrt{3} é
-x=(-a)+(-b)\sqrt{3},
e -a,-b\in\mathbb{Z}. Logo -x\in S. Propriedade confirmada.

Passo 6

Fechamento pela multiplicação.
Multiplicando x=a_1+b_1\sqrt{3} e y=a_2+b_2\sqrt{3} obtemos
xy=(a_1a_2+3b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{3}.
Os coeficientes a_1a_2+3b_1b_2 e a_1b_2+a_2b_1 são inteiros, pois combinam produtos e somas de inteiros. Logo xy\in S. Portanto S é fechado sob multiplicação.
Até aqui S satisfaz todas as propriedades de um subanel contendo 1 (ou seja, é um subanel unital de \mathbb{R}). Falta verificar os inversos multiplicativos.

Passo 7

Inversos multiplicativos (a parte crucial).
Se x=a+b\sqrt{3}\in S e x\neq0, a técnica padrão é multiplicar por seu “conjugado” a-b\sqrt{3} para racionalizar. Observa-se:
x\cdot (a-b\sqrt{3}) = a^2 - 3b^2.
Assim, se a^2-3b^2\neq0 (caso em que x\neq0), o inverso de x no corpo \mathbb{R} é
x^{-1}=\frac{a-b\sqrt{3}}{a^2-3b^2}.
Para que x^{-1} pertença a S precisamos que esse quociente seja da forma A+B\sqrt{3} com A,B\in\mathbb{Z}. Ou seja, precisamos que \dfrac{a}{a^2-3b^2} e \dfrac{-b}{a^2-3b^2} sejam inteiros ao mesmo tempo, o que é uma condição forte (equivalente a exigir que a^2-3b^2 divida simultaneamente a e b).

Passo 8

Exemplo concreto que mostra a falha.
Tome a=1 e b=1. Então x=1+\sqrt{3}\in S. Calculando o inverso:
x^{-1}=\frac{1-\sqrt{3}}{1^2-3\cdot1^2}=\frac{1-\sqrt{3}}{1-3}=\frac{1-\sqrt{3}}{-2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3}.
Os coeficientes aqui são -\tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2}, que NÃO são inteiros. Portanto x^{-1}\notin S.
Esse contraexemplo basta para concluir que nem todo elemento não nulo de S tem inverso em S. Logo S não é um corpo.

Passo 9

Interpretação final e comentário amigo.
Concluímos que S é fechado sob adição, tem inversos aditivos, é fechado sob multiplicação e contém 1, ou seja, é um subanel de \mathbb{R} (especificamente o anel \mathbb{Z}[\sqrt{3}]). Mas falha na existência de inversos multiplicativos dentro de S (a menos que o inverso coincida por acaso com coeficientes inteiros, o que raramente acontece). Portanto S não é subcorpo de \mathbb{R}. Não desanima: se em vez de coeficientes inteiros tivéssemos coeficientes racionais, isto é, se tivéssemos
\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in\mathbb{Q}\},
então isso sim seria um subcorpo de \mathbb{R} (o corpo \mathbb{Q}(\sqrt{3})) — só para compararmos os dois casos e entender o porquê da falha aqui.

Resposta

Não. S=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in\mathbb{Z}\} não é um subcorpo de \mathbb{R} (por exemplo, (1+\sqrt{3})^{-1}=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\sqrt{3}\notin S).

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