Verifique se (5,+, \cdot) é um subcorpo de ( R_{1}+, .) em cada um dos casos.
S=\{a+b \cdot \sqrt[3]{3} / a, b \in \mathbb{Q}\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se: verificar se S é um subcorpo de (\mathbb{R},+,\cdot).
  • Dados: S=\{a+b\cdot\sqrt[3]{3}\mid a,b\in\mathbb{Q}\}.
  • Para decidir isso precisamos checar as propriedades que um subconjunto de (\mathbb{R},+,\cdot) deve ter para ser subcorpo: conter 0 e 1; ser fechado sob adição e multiplicação; conter os inversos aditivo e multiplicativo (este último para elementos não nulos). Vou verificar essas propriedades passo a passo.

Passo 2

Verificação de elementos óbvios e fechamento por adição e inverso aditivo.
  • Primeiro, observe que 0\in S pois 0=0+0\cdot\sqrt[3]{3} com 0\in\mathbb{Q}.
  • E 1\in S pois 1=1+0\cdot\sqrt[3]{3} com 1\in\mathbb{Q}.
  • Soma: tomemos dois elementos quaisquer de S, x=a+b\sqrt[3]{3},\qquad y=c+d\sqrt[3]{3},com a,b,c,d\in\mathbb{Q}. Então x+y=(a+c)+(b+d)\sqrt[3]{3}.Como a+c\in\mathbb{Q} e b+d\in\mathbb{Q}, segue que x+y\in S. Logo S é fechado sob adição.
  • Inverso aditivo: para x=a+b\sqrt[3]{3} tem-se -x=(-a)+(-b)\sqrt[3]{3}, e -a,-b\in\mathbb{Q}, logo -x\in S.
Até aqui S contém 0,1 e é um subgrupo aditivo de \mathbb{R}.

Passo 3

Fórmula do produto e análise do termo troublemaker.
  • Multiplicação: para os mesmos x,y acima, xy=(a+b\sqrt[3]{3})(c+d\sqrt[3]{3})=ac+(ad+bc)\sqrt[3]{3}+bd\bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2}.Note o termo bd\bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2}. Para que xy esteja em S é necessário que esse termo possa ser reescrito como uma combinação da forma r+s\sqrt[3]{3} com r,s\in\mathbb{Q}. Em outras palavras, precisamos que \bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2} seja elemento de S.
  • Portanto, uma maneira simples de refutar que S seja subcorpo é mostrar que \bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2}\notin S. Se \bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2}\notin S então escolher x=y=\sqrt[3]{3} fornece xy=\bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2}\notin S, mostrando que S não é fechado sob multiplicação.

Passo 4

Provar que \bigl(\sqrt[3]{3}\bigr)^{2}\notin S usando irreducibilidade.
  • Denote \alpha=\sqrt[3]{3}. Suponha, por contradição, que \alpha^{2}\in S. Então existem r,s\in\mathbb{Q} tais que \alpha^{2}=r+s\alpha.Isso implica \alpha^{2}-s\alpha-r=0,ou seja, \alpha seria raiz de um polinômio quadrático com coeficientes racionais.
  • Mas \alpha=\sqrt[3]{3} é raiz de f(x)=x^{3}-3.O polinômio f(x)=x^{3}-3 é irreduzível sobre \mathbb{Q} por Eisenstein com o primo p=3: o coeficiente líder é 1 (não divisível por 3), os outros coeficientes 0 e -3 são divisíveis por 3 e o termo constante -3 não é divisível por 3^{2}=9. Portanto f é irreduzível em \mathbb{Q}[x], o que implica que o grau mínimo de \alpha sobre \mathbb{Q} é 3.
  • Conclusão: \alpha não pode satisfazer nenhuma equação quadrática com coeficientes racionais. Logo a suposição de que existam r,s\in\mathbb{Q} com \alpha^{2}=r+s\alpha é falsa. Portanto \alpha^{2}\notin S.

Passo 5

Conclusão final a partir do passo anterior.
  • Como \alpha^{2}\notin S, tomando x=\alpha e y=\alpha obtemos xy=\alpha^{2}\notin S. Logo S não é fechado sob multiplicação.
  • Se falta fechamento sob multiplicação, S não pode ser subcorpo de (\mathbb{R},+,\cdot). (Não é necessário checar inversos multiplicativos porque já falhou uma propriedade essencial.)

Resposta

Não: S não é subcorpo de (\mathbb{R},+,\cdot).

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