Verifique se
é um subcorpo de (
, .) em cada um dos casos.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se: verificar se
é um subcorpo de . - Dados:
- Para decidir isso precisamos checar as propriedades que um subconjunto de
deve ter para ser subcorpo: conter e ; ser fechado sob adição e multiplicação; conter os inversos aditivo e multiplicativo (este último para elementos não nulos). Vou verificar essas propriedades passo a passo.
Passo 2
Verificação de elementos óbvios e fechamento por adição e inverso aditivo.
- Primeiro, observe que
pois com . - E
pois com . - Soma: tomemos dois elementos quaisquer de
, com . Então Como e , segue que . Logo é fechado sob adição. - Inverso aditivo: para
tem-se , e , logo .
Até aqui
contém
e é um subgrupo aditivo de
.
Passo 3
Fórmula do produto e análise do termo troublemaker.
- Multiplicação: para os mesmos
acima, Note o termo . Para que esteja em é necessário que esse termo possa ser reescrito como uma combinação da forma com . Em outras palavras, precisamos que seja elemento de . - Portanto, uma maneira simples de refutar que
seja subcorpo é mostrar que . Se então escolher fornece , mostrando que não é fechado sob multiplicação.
Passo 4
Provar que
usando irreducibilidade.
- Denote
. Suponha, por contradição, que . Então existem tais que Isso implica ou seja, seria raiz de um polinômio quadrático com coeficientes racionais. - Mas
é raiz de O polinômio é irreduzível sobre por Eisenstein com o primo : o coeficiente líder é (não divisível por ), os outros coeficientes e são divisíveis por e o termo constante não é divisível por . Portanto é irreduzível em , o que implica que o grau mínimo de sobre é . - Conclusão:
não pode satisfazer nenhuma equação quadrática com coeficientes racionais. Logo a suposição de que existam com é falsa. Portanto .
Passo 5
Conclusão final a partir do passo anterior.
- Como
, tomando e obtemos . Logo não é fechado sob multiplicação. - Se falta fechamento sob multiplicação,
não pode ser subcorpo de . (Não é necessário checar inversos multiplicativos porque já falhou uma propriedade essencial.)
Resposta
Não:
não é subcorpo de
.