Determine os coeficientes da SF de x(t) periódico, dado que:
  1. T=2
  2. x(t)=e^-t,-1

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente precisa fazer é encontrar os coeficientes da Série de Fourier (SF) para uma função periódica $ x(t) $. O enunciado nos diz que o período $ T = 2 $ e que a função $ x(t) = e^{-t} $ está definida no intervalo $ -1 < t < 1 $. Então, vamos usar conceitos de Fourier para decompôr essa função em uma série trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Série de Fourier de uma função periódica $ x(t) $ com período $ T $ pode ser escrita como:
x(t)
Aqui, $ a_0 $ é o coeficiente constante, e $ a_n $ e $ b_n $ são os coeficientes das componentes cosseno e seno, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função sobre um período. A fórmula para $ a_0 $ é:
a0
Substituindo $ T = 2 $:
a0

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral para encontrar $ a_0 $:
a0
Avaliado de $ -1 $ a $ 1 $:
integral e^-t , dt = -e^-t + C

Passo 5

Em seguida, vamos calcular os coeficientes $ a_n $, que multiplicam os termos de cosseno na série. A fórmula é:
an
Substituindo $ T = 2 $:
an = 2T integral-T/2^T/2 x(t) cos(2pi n tT) , dt

Passo 6

Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração por partes ou reconhecer que é a parte real de uma integral complexa. No entanto, para simplificação, vamos utilizar a fórmula padrão:
integral e^at cos(bt) , dt = e^ata^2 + b^2 (a cos(bt) + b sin(bt)) + C
Aqui, $ a = -1 $ e $ b = \pi n $. Aplicando isso:
a = -1
Após avaliar nos limites e simplificar, obteremos o valor de $ a_n $.

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $, que multiplicam os termos de seno na série. A fórmula é:
bn
Substituindo $ T = 2 $:
bn = 2T integral-T/2^T/2 x(t) sin(2pi n tT) , dt

Passo 8

Usando uma técnica similar à dos coeficientes $ a_n $, aplicamos a fórmula de integração:
an
Com $ a = -1 $ e $ b = \pi n $, temos:
integral e^at sin(bt) , dt = e^ata^2 + b^2 (a sin(bt) - b cos(bt)) + C
Após avaliar nos limites e simplificar, obtemos o valor de $ b_n $.

Resposta

Os coeficientes da Série de Fourier para a função $ x(t) = e^{-t} $ periódica com período $ T = 2 $ são:
x(t) = e^-t
T = 2
a0 = e^2 - 12e
Esses coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ completam a Série de Fourier da função dada.

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