Determine os coeficientes da SF de
periódico, dado que:
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Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente precisa fazer é encontrar os coeficientes da Série de Fourier (SF) para uma função periódica $ x(t) $. O enunciado nos diz que o período $ T = 2 $ e que a função $ x(t) = e^{-t} $ está definida no intervalo $ -1 < t < 1 $. Então, vamos usar conceitos de Fourier para decompôr essa função em uma série trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Série de Fourier de uma função periódica $ x(t) $ com período $ T $ pode ser escrita como:
Aqui, $ a_0 $ é o coeficiente constante, e $ a_n $ e $ b_n $ são os coeficientes das componentes cosseno e seno, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função sobre um período. A fórmula para $ a_0 $ é:
Substituindo $ T = 2 $:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral para encontrar $ a_0 $:
Avaliado de $ -1 $ a $ 1 $:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular os coeficientes $ a_n $, que multiplicam os termos de cosseno na série. A fórmula é:
Substituindo $ T = 2 $:
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração por partes ou reconhecer que é a parte real de uma integral complexa. No entanto, para simplificação, vamos utilizar a fórmula padrão:
Aqui, $ a = -1 $ e $ b = \pi n $. Aplicando isso:
Após avaliar nos limites e simplificar, obteremos o valor de $ a_n $.
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $, que multiplicam os termos de seno na série. A fórmula é:
Substituindo $ T = 2 $:
Passo 8
Usando uma técnica similar à dos coeficientes $ a_n $, aplicamos a fórmula de integração:
Com $ a = -1 $ e $ b = \pi n $, temos:
Após avaliar nos limites e simplificar, obtemos o valor de $ b_n $.
Resposta
Os coeficientes da Série de Fourier para a função $ x(t) = e^{-t} $ periódica com período $ T = 2 $ são:
Esses coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ completam a Série de Fourier da função dada.