Determine a componente f_{2} em
f_{i}=\epsilon_{i j k} T_{j k}

Passo 1

O enunciado dá a relação entre um vetor f e uma matriz T:
f_{i}=\epsilon_{i j k} T_{j k}
O que se pede: determinar a componente \,f_{2}\,.
Informações relevantes e convenções que usamos (extraídas do enunciado e assumidas):
  • A soma de Einstein está em vigor: índices repetidos são somados automaticamente sobre os valores \,1,2,3.
  • O símbolo \epsilon_{i j k} é o símbolo de Levi-Civita de três índices (veremos seu significado no passo seguinte).
  • T_{j k} são as componentes de uma matriz qualquer; não foram dadas restrições sobre simetrias de T.

Passo 2

Entendendo o símbolo de Levi-Civita \epsilon_{i j k} (a ferramenta chave aqui).
  • \epsilon_{i j k} é definido por: \epsilon_{123}=+1, \quad \epsilon_{231}=+1, \quad \epsilon_{312}=+1,(essas são as permutações cíclicas de (1,2,3) e valem +1), e \epsilon_{132}=-1, \quad \epsilon_{213}=-1, \quad \epsilon_{321}=-1,(essas são as permutações anti-cíclicas e valem -1).
  • Sempre que quaisquer dois índices forem iguais temos \epsilon_{i i k}=0,porque troca de dois índices muda o sinal; se índices iguais, a troca não altera, logo tem de ser zero.
  • Em palavras simples: \epsilon_{i j k} é zero quando há repetição de índice; vale +1 para permutações cíclicas de (1,2,3) e -1 para permutações anti-cíclicas.

Passo 3

Escrever explicitamente \,f_{2}\, usando a fórmula dada:
f_{2}=\epsilon_{2 j k} T_{j k}
Aqui \,j e \,k variam por 1,2,3. Vamos analisar quais pares (j,k) produzem \epsilon_{2jk} não nula. Pelas propriedades do Levi-Civita:
  • Se (j,k)=(1,3) então (2,1,3) é uma permutação anti-cíclica (troca de 1 e 2 em (1,2,3)), então \epsilon_{2 1 3}=-1.
  • Se (j,k)=(3,1) então (2,3,1) é uma permutação cíclica, então \epsilon_{2 3 1}=+1.
  • Para todos os outros pares (j,k) ou há repetição de índices (ex.: j=2 ou k=2) ou a permutação é outra que dá zero; portanto esses termos desaparecem.

Passo 4

Agora substituímos apenas os termos não nulos na soma:
f_{2}=\epsilon_{2 1 3} T_{1 3} + \epsilon_{2 3 1} T_{3 1}.
Usando os valores encontrados:
f_{2}=(-1)\,T_{1 3} + (+1)\,T_{3 1}.
Portanto
f_{2}=T_{3 1}-T_{1 3}.

Passo 5

Interpretação e observações práticas (dica para a prova):
  • A componente \,f_{2}\, é a diferença entre a entrada (3,1) e a entrada (1,3) da matriz T. Isso mede a parte antissimétrica de T entre as posições 1 e 3.
  • Em notação de parte antissimétrica T_{[jk]}=\tfrac{1}{2}(T_{jk}-T_{kj}), tem-se \,f_{2}=2\,T_{[31]}. Isso é útil se a matriz T for decomposta em parte simétrica e antissimétrica.
  • Exemplo numérico rápido (para fixar): se T=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 5\\\\ 1 & 0 & 3\\\\ 4 & -1 & 0 \end{pmatrix},então T_{13}=5 e T_{31}=4, e f_{2}=T_{31}-T_{13}=4-5=-1.

Resposta

f_{2}=T_{31}-T_{13}

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