Determine a componente
em
Passo 1
O enunciado dá a relação entre um vetor
e uma matriz
:
O que se pede: determinar a componente
.
Informações relevantes e convenções que usamos (extraídas do enunciado e assumidas):
Informações relevantes e convenções que usamos (extraídas do enunciado e assumidas):
- A soma de Einstein está em vigor: índices repetidos são somados automaticamente sobre os valores
. - O símbolo
é o símbolo de Levi-Civita de três índices (veremos seu significado no passo seguinte). -
são as componentes de uma matriz qualquer; não foram dadas restrições sobre simetrias de .
Passo 2
Entendendo o símbolo de Levi-Civita
(a ferramenta chave aqui).
-
é definido por: (essas são as permutações cíclicas de e valem ), e (essas são as permutações anti-cíclicas e valem ). - Sempre que quaisquer dois índices forem iguais temos
porque troca de dois índices muda o sinal; se índices iguais, a troca não altera, logo tem de ser zero. - Em palavras simples:
é zero quando há repetição de índice; vale para permutações cíclicas de e para permutações anti-cíclicas.
Passo 3
Escrever explicitamente
usando a fórmula dada:
Aqui
e
variam por
. Vamos analisar quais pares
produzem
não nula. Pelas propriedades do Levi-Civita:
- Se
então é uma permutação anti-cíclica (troca de e em ), então - Se
então é uma permutação cíclica, então - Para todos os outros pares
ou há repetição de índices (ex.: ou ) ou a permutação é outra que dá zero; portanto esses termos desaparecem.
Passo 4
Agora substituímos apenas os termos não nulos na soma:
Usando os valores encontrados:
Portanto
Passo 5
Interpretação e observações práticas (dica para a prova):
- A componente
é a diferença entre a entrada e a entrada da matriz . Isso mede a parte antissimétrica de entre as posições e . - Em notação de parte antissimétrica
, tem-se . Isso é útil se a matriz for decomposta em parte simétrica e antissimétrica. - Exemplo numérico rápido (para fixar): se
então e , e