(a) Determine os componentes e o módulo de \vec{r}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c} se \vec{a}=5 \hat{i}+4 \hat{j}-6 \hat{k}, \vec{b}=-2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} e \vec{c}=4 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}. (b) Calcule o ângulo entre \vec{r} e o eixo z positivo.

Passo 1

O enunciado pede (a) os componentes e o módulo do vetor \vec r = \vec a - \vec b + \vec c, e (b) o ângulo entre \vec r e o eixo z positivo. O conteúdo necessário é operação com componentes de vetores (adição e subtração), cálculo de módulo e uso do produto escalar para encontrar o ângulo com um eixo.

Passo 2

Vamos achar primeiro as componentes de
\vec r = \vec a - \vec b + \vec c.
Escrevendo componente a componente:
r_x = 5 - (-2) + 4 = 5 + 2 + 4 = 11,
r_y = 4 - 2 + 3 = 2 + 3 = 5,
r_z = -6 - 3 + 2 = -9 + 2 = -7.
Logo
\vec r = 11\,\hat\imath \;+\;5\,\hat\jmath\;-\;7\,\hat k.

Passo 3

Para o módulo de \vec r usamos
\lVert \vec r\rVert = \sqrt{r_x^2 + r_y^2 + r_z^2}
\lVert \vec r\rVert = \sqrt{11^2 + 5^2 + (-7)^2}
\lVert \vec r\rVert = \sqrt{121 + 25 + 49}
\lVert \vec r\rVert = \sqrt{195}\approx13{,}96.

Passo 4

O ângulo \theta entre \vec r e o eixo z positivo satisfaz
\cos\theta = \frac{\vec r \cdot \hat k}{\lVert \vec r\rVert\,\lVert \hat k\rVert}.
Como \vec r\cdot\hat k = r_z = -7 e \lVert\hat k\rVert=1, temos
\cos\theta = \frac{-7}{\sqrt{195}}.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{7}{\sqrt{195}}\bigr)\approx120{,}1^\circ.

Resposta

(a) \vec r = 11\,\hat\imath +5\,\hat\jmath -7\,\hat k, \lVert \vec r\rVert = \sqrt{195}\approx13{,}96.
(b) \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-7/\sqrt{195}\bigr)\approx120{,}1^\circ.

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