- Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções:
a)
a)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar as componentes par e ímpar dessa função.
Informações relevantes fornecidas: a função é um polinômio de segundo grau com coeficientes (para
),
(para
) e
(constante).
Informações relevantes fornecidas: a função é um polinômio de segundo grau com coeficientes
Passo 2
Primeiro, vou explicar as fórmulas que usamos — é o coração da técnica e você precisa decorar isso para a prova:
A componente par de uma função é definida por
A componente par de uma função
e a componente ímpar é
O que estas fórmulas fazem, intuitivamente: somando
e
a parte que cambia de sinal (termos ímpares) se cancela, sobrando só a parte que é simétrica (par). Subtraindo
de
as partes pares se cancelam, sobrando a parte antisímetrica (ímpar).
Explico as variáveis: é a variável independente;
é o valor da função em
;
é o valor da função ao trocar
por
. Usamos essas duas expressões para separar a função em duas: uma que satisfaz
(par) e outra que satisfaz
(ímpar).
Explico as variáveis:
Passo 3
Calcular
substituindo
por
na definição:
Agora simplifico cada termo:
e
. Logo
Passo 4
Calcular a componente par usando a fórmula:
primeiro compute :
primeiro compute
Some termo a termo:
,
,
. Então
Dividindo por
conforme a fórmula,
Observação didática: os termos ímpares (proporcionais a
) se cancelaram como esperado; restaram os termos pares (
e constante).
Passo 5
Calcular a componente ímpar usando a fórmula:
primeiro compute :
primeiro compute
Subtraindo termo a termo:
,
,
. Logo
Dividindo por
,
Observação didática: os termos pares (
e constante) se cancelaram; sobrou apenas o termo ímpar proporcional a
.
Passo 6
Verificação rápida das propriedades (útil para a prova):
Verifico que é realmente par:
Verifico que
Verifico que
é realmente ímpar:
Também posso somar as componentes para conferir que recupero
: