1. Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções:
    a) g(t)=2 t^{2}-3 t+6

Passo 1

O enunciado dá a função \;g(t)=2 t^{2}-3 t+6\; e pede: determinar as componentes par e ímpar dessa função.
Informações relevantes fornecidas: a função é um polinômio de segundo grau com coeficientes 2 (para t^{2}), -3 (para t) e 6 (constante).

Passo 2

Primeiro, vou explicar as fórmulas que usamos — é o coração da técnica e você precisa decorar isso para a prova:
A componente par de uma função g é definida por
g_{e}(t)=\frac{g(t)+g(-t)}{2},
e a componente ímpar é
g_{o}(t)=\frac{g(t)-g(-t)}{2}.
O que estas fórmulas fazem, intuitivamente: somando g(t) e g(-t) a parte que cambia de sinal (termos ímpares) se cancela, sobrando só a parte que é simétrica (par). Subtraindo g(-t) de g(t) as partes pares se cancelam, sobrando a parte antisímetrica (ímpar).
Explico as variáveis: t é a variável independente; g(t) é o valor da função em t; g(-t) é o valor da função ao trocar t por -t. Usamos essas duas expressões para separar a função em duas: uma que satisfaz g_{e}(-t)=g_{e}(t) (par) e outra que satisfaz g_{o}(-t)=-g_{o}(t) (ímpar).

Passo 3

Calcular g(-t) substituindo t por -t na definição:
g(-t)=2(-t)^{2}-3(-t)+6.
Agora simplifico cada termo: (-t)^{2}=t^{2} e -3(-t)=+3t. Logo
g(-t)=2t^{2}+3t+6.

Passo 4

Calcular a componente par usando a fórmula:
primeiro compute g(t)+g(-t):
g(t)+g(-t)=(2t^{2}-3t+6)+(2t^{2}+3t+6).
Some termo a termo: 2t^{2}+2t^{2}=4t^{2}, -3t+3t=0, 6+6=12. Então
g(t)+g(-t)=4t^{2}+12.
Dividindo por 2 conforme a fórmula,
g_{e}(t)=\frac{4t^{2}+12}{2}=2t^{2}+6.
Observação didática: os termos ímpares (proporcionais a t) se cancelaram como esperado; restaram os termos pares ( t^{2} e constante).

Passo 5

Calcular a componente ímpar usando a fórmula:
primeiro compute g(t)-g(-t):
g(t)-g(-t)=(2t^{2}-3t+6)-(2t^{2}+3t+6).
Subtraindo termo a termo: 2t^{2}-2t^{2}=0, -3t-3t=-6t, 6-6=0. Logo
g(t)-g(-t)=-6t.
Dividindo por 2,
g_{o}(t)=\frac{-6t}{2}=-3t.
Observação didática: os termos pares ( t^{2} e constante) se cancelaram; sobrou apenas o termo ímpar proporcional a t.

Passo 6

Verificação rápida das propriedades (útil para a prova):
Verifico que g_{e} é realmente par:
g_{e}(-t)=2(-t)^{2}+6=2t^{2}+6=g_{e}(t).
Verifico que g_{o} é realmente ímpar:
g_{o}(-t)=-3(-t)=3t=-(-3t)=-g_{o}(t).
Também posso somar as componentes para conferir que recupero g:
g_{e}(t)+g_{o}(t)=(2t^{2}+6)+(-3t)=2t^{2}-3t+6=g(t).

Resposta

g_{\text{par}}(t)=2t^{2}+6
g_{\text{ímpar}}(t)=-3tí

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