1. Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções:
    b) g(t)=20 \cos (40 \pi t-\pi / 4)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as componentes par e ímpar da função g(t)=20\cos\!\bigl(40\pi t-\pi/4\bigr).
Informações dadas: a expressão analítica de g(t) é \;20\cos\!\bigl(40\pi t-\pi/4\bigr).
Objetivo: encontrar g_{\text{par}}(t) e g_{\text{ímpar}}(t)í tais que
g(t)=g_{\text{par}}(t)+g_{\text{ímpar}}(t),í
onde g_{\text{par}} é uma função par e g_{\text{ímpar}}í é uma função ímpar.

Passo 2

Vou relembrar a fórmula padrão para decompor qualquer função f(t) em parte par e ímpar (essa é a ferramenta que você deve usar na prova):
g_{\text{par}}(t)=\frac{g(t)+g(-t)}{2},
g_{\text{ímpar}}(t)=\frac{g(t)-g(-t)}{2}.í
Explicação rápida do que significa: uma função par satisfaz h(-t)=h(t) e uma função ímpar satisfaz k(-t)=-k(t). A fórmula acima garante a decomposição única de qualquer g.

Passo 3

Calcular g(-t). Substituo -t na expressão:
g(-t)=20\cos\!\bigl(40\pi(-t)-\pi/4\bigr)=20\cos\!\bigl(-40\pi t-\pi/4\bigr).
Uso a identidade \cos(-\theta)=\cos(\theta) para reescrever
\cos\!\bigl(-40\pi t-\pi/4\bigr)=\cos\!\bigl(40\pi t+\pi/4\bigr).
Portanto
g(-t)=20\cos\!\bigl(40\pi t+\pi/4\bigr).

Passo 4

Para facilitar a soma e diferença, escrevo g(t) e g(-t) usando a fórmula do cosseno da diferença/soma:
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B,
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B.
Com A=40\pi t e B=\pi/4, temos
g(t)=20\bigl(\cos(40\pi t)\cos(\pi/4)+\sin(40\pi t)\sin(\pi/4)\bigr),
g(-t)=20\bigl(\cos(40\pi t)\cos(\pi/4)-\sin(40\pi t)\sin(\pi/4)\bigr).

Passo 5

Calculo agora g(t)+g(-t) e g(t)-g(-t). Somando:
g(t)+g(-t)=20\bigl(2\cos(40\pi t)\cos(\pi/4)\bigr)=40\cos(40\pi t)\cos(\pi/4).
Subtraindo:
g(t)-g(-t)=20\bigl(2\sin(40\pi t)\sin(\pi/4)\bigr)=40\sin(40\pi t)\sin(\pi/4).

Passo 6

Agora uso as fórmulas da decomposição (divido por 2):
g_{\text{par}}(t)=\frac{g(t)+g(-t)}{2}=20\cos(40\pi t)\cos(\pi/4),
g_{\text{ímpar}}(t)=\frac{g(t)-g(-t)}{2}=20\sin(40\pi t)\sin(\pi/4).í
Simplifico usando \cos(\pi/4)=\sin(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}:
g_{\text{par}}(t)=20\cos(40\pi t)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\,\cos(40\pi t),
g_{\text{ímpar}}(t)=20\sin(40\pi t)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\,\sin(40\pi t).í

Passo 7

Verificação rápida (ajuda a ter confiança na resposta): \;g_{\text{par}}(-t)=10\sqrt{2}\cos(-40\pi t)=10\sqrt{2}\cos(40\pi t)=g_{\text{par}}(t) (é par) e \;g_{\text{ímpar}}(-t)=10\sqrt{2}\sin(-40\pi t)=-10\sqrt{2}\sin(40\pi t)=-g_{\text{ímpar}}(t)íí (é ímpar). Além disso, g(t)=g_{\text{par}}(t)+g_{\text{ímpar}}(t)í reconstrói a função original.

Resposta

g_{\text{par}}(t)=10\sqrt{2}\,\cos(40\pi t)
g_{\text{ímpar}}(t)=10\sqrt{2}\,\sin(40\pi t)í

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