- Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede: determinar as componentes par e ímpar da função
.
Informações dadas: a expressão analítica de é
.
Objetivo: encontrar e
tais que
Informações dadas: a expressão analítica de
Objetivo: encontrar
onde
é uma função par e
é uma função ímpar.
Passo 2
Vou relembrar a fórmula padrão para decompor qualquer função
em parte par e ímpar (essa é a ferramenta que você deve usar na prova):
Explicação rápida do que significa: uma função par satisfaz
e uma função ímpar satisfaz
. A fórmula acima garante a decomposição única de qualquer
.
Passo 3
Calcular
. Substituo
na expressão:
Uso a identidade
para reescrever
Portanto
Passo 4
Para facilitar a soma e diferença, escrevo
e
usando a fórmula do cosseno da diferença/soma:
Com
e
, temos
Passo 5
Calculo agora
e
. Somando:
Subtraindo:
Passo 6
Agora uso as fórmulas da decomposição (divido por 2):
Simplifico usando
:
Passo 7
Verificação rápida (ajuda a ter confiança na resposta):
(é par) e
(é ímpar). Além disso,
reconstrói a função original.