- (1.5-9) A porção do conjugado simétrico (ou Hermitiano) de um sinal é definido por
. Mostre que a parte real de
é par e a parte imaginária de
é ímpar.
Passo 1
O enunciado define a porção do conjugado simétrico (ou Hermitiano) de um sinal por
Pede-se para mostrar duas coisas:
- que a parte real de
é uma função par; - que a parte imaginária de
é uma função ímpar.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
está definida em termos de
e do seu conjugado
.
Não há outras hipóteses explícitas sobre além de ser uma função complexa de
.
Não há outras hipóteses explícitas sobre
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar e fixar algumas definições e propriedades básicas (devagar, passo a passo):
Definição de parte real e imaginária: se
é um número complexo para cada
, podemos escrevê-lo como
onde
é a parte real (função real) e
é a parte imaginária (função real). Aqui
é a unidade imaginária.
Definição de conjugado complexa: o conjugado de
é
Definições de par e ímpar:
- Uma função
é par se, para todo ,
- Uma função
é ímpar se, para todo ,
Vou usar essas definições para provar as duas propriedades pedidas.
Passo 3
Escrevemos
em sua forma real + imaginária:
Agora calculemos o termo
que aparece na definição de
.
Aplicando a definição de conjugado a obtemos
Aplicando a definição de conjugado a
Passo 4
Substituímos
e
na expressão de
:
Agora agrupamos a parte real e a parte imaginária:
Passo 5
A partir da expressão do passo anterior, identificamos explicitamente a parte real e a parte imaginária de
:
Parte real:
Parte imaginária:
Vou agora mostrar que a primeira é par e a segunda é ímpar usando as definições.
Passo 6
Mostrando que
é par.
Calculemos
trocando
por
na expressão da parte real:
Como soma é comutativa, isso é exatamente igual a
:
Pela definição de função par, concluímos que
é par.
Passo 7
Mostrando que
é ímpar.
Calculemos
trocando
por
na expressão da parte imaginária:
Reescrevendo:
Isso é exatamente a definição de função ímpar. Logo
é ímpar.
Passo 8
Comentário didático rápido (para você lembrar na prova): o que fizemos foi decompor
em parte real e imaginária, aplicar conjugação e troca de sinal no argumento, e então ver que a combinação simétrica
produz um termo claramente par e a combinação antissimétrica
produz um termo claramente ímpar. Esse padrão aparece sempre que você mistura um sinal com o conjugado avaliado em
: a parte real tende a ficar “simétrica” e a parte imaginária “anti‑simétrica”.
Força aí — você já tem o passo a passo que precisa levar para a prova. Dá pra decorar a ideia: conjugado + argumento invertido -> real fica par, imaginário fica ímpar.
Resposta
A parte real de
é par e a parte imaginária de
é ímpar.