1. (1.5-9) A porção do conjugado simétrico (ou Hermitiano) de um sinal é definido por w_{c s}(t)=\left(w(t)+w^{*}(-t)\right) / 2. Mostre que a parte real de w_{c s}(t) é par e a parte imaginária de w_{c s}(t) é ímpar.

Passo 1

O enunciado define a porção do conjugado simétrico (ou Hermitiano) de um sinal por
w_{c s}(t)=\frac{w(t)+w^{*}(-t)}{2}.
Pede-se para mostrar duas coisas:
  1. que a parte real de w_{c s}(t) é uma função par;
  2. que a parte imaginária de w_{c s}(t) é uma função ímpar.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\,w_{c s}(t) está definida em termos de w(t) e do seu conjugado w^{*}(-t).
Não há outras hipóteses explícitas sobre w(t) além de ser uma função complexa de t.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar e fixar algumas definições e propriedades básicas (devagar, passo a passo):
Definição de parte real e imaginária: se \,w(t) é um número complexo para cada t, podemos escrevê-lo como
w(t)=x(t)+j\,y(t),
onde \,x(t)=\Re\{w(t)\} é a parte real (função real) e \,y(t)=\Im\{w(t)\} é a parte imaginária (função real). Aqui j é a unidade imaginária.
Definição de conjugado complexa: o conjugado de w(t) é
w^{*}(t)=x(t)-j\,y(t).
Definições de par e ímpar:
  • Uma função f(t) é par se, para todo t,
f(-t)=f(t).
  • Uma função g(t) é ímpar se, para todo t,
g(-t)=-g(t).
Vou usar essas definições para provar as duas propriedades pedidas.

Passo 3

Escrevemos w(t) em sua forma real + imaginária:
w(t)=x(t)+j\,y(t).
Agora calculemos o termo w^{*}(-t) que aparece na definição de w_{c s}(t).
Aplicando a definição de conjugado a w(-t) obtemos
w^*(-t)=x(-t)-j\,y(-t).

Passo 4

Substituímos w(t) e w^{*}(-t) na expressão de w_{c s}(t):
w_{c s}(t)=\frac{w(t)+w^{*}(-t)}{2} =\frac{\bigl(x(t)+j\,y(t)\bigr)+\bigl(x(-t)-j\,y(-t)\bigr)}{2}.
Agora agrupamos a parte real e a parte imaginária:
w_{c s}(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}+j\cdot\frac{y(t)-y(-t)}{2}.

Passo 5

A partir da expressão do passo anterior, identificamos explicitamente a parte real e a parte imaginária de w_{c s}(t):
Parte real:
\Re\{w_{c s}(t)\}=\frac{x(t)+x(-t)}{2}.
Parte imaginária:
\Im\{w_{c s}(t)\}=\frac{y(t)-y(-t)}{2}.
Vou agora mostrar que a primeira é par e a segunda é ímpar usando as definições.

Passo 6

Mostrando que \Re\{w_{c s}(t)\} é par.
Calculemos \Re\{w_{c s}(-t)\} trocando t por -t na expressão da parte real:
\Re\{w_{c s}(-t)\}=\frac{x(-t)+x(--t)}{2}=\frac{x(-t)+x(t)}{2}.
Como soma é comutativa, isso é exatamente igual a \Re\{w_{c s}(t)\}:
\Re\{w_{c s}(-t)\}=\Re\{w_{c s}(t)\}.
Pela definição de função par, concluímos que \Re\{w_{c s}(t)\} é par.

Passo 7

Mostrando que \Im\{w_{c s}(t)\} é ímpar.
Calculemos \Im\{w_{c s}(-t)\} trocando t por -t na expressão da parte imaginária:
\Im\{w_{c s}(-t)\}=\frac{y(-t)-y(--t)}{2}=\frac{y(-t)-y(t)}{2}.
Reescrevendo:
\Im\{w_{c s}(-t)\}=-\frac{y(t)-y(-t)}{2}=-\Im\{w_{c s}(t)\}.
Isso é exatamente a definição de função ímpar. Logo \Im\{w_{c s}(t)\} é ímpar.

Passo 8

Comentário didático rápido (para você lembrar na prova): o que fizemos foi decompor w em parte real e imaginária, aplicar conjugação e troca de sinal no argumento, e então ver que a combinação simétrica \bigl(x(t)+x(-t)\bigr)/2 produz um termo claramente par e a combinação antissimétrica \bigl(y(t)-y(-t)\bigr)/2 produz um termo claramente ímpar. Esse padrão aparece sempre que você mistura um sinal com o conjugado avaliado em -t: a parte real tende a ficar “simétrica” e a parte imaginária “anti‑simétrica”.
Força aí — você já tem o passo a passo que precisa levar para a prova. Dá pra decorar a ideia: conjugado + argumento invertido -> real fica par, imaginário fica ímpar.

Resposta

A parte real de w_{c s}(t) é par e a parte imaginária de w_{c s}(t) é ímpar.

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