Determine o comprimento do arco.
41. \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+\frac{1}{2}\left(t^{2}-1\right) \mathbf{j}+\frac{1}{2}\left(t^{2}+1\right) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+\tfrac12\bigl(t^2-1\bigr)\,\mathbf{j}+\tfrac12\bigl(t^2+1\bigr)\,\mathbf{k}
e pede o comprimento de arco. Para calcular o comprimento de arco de uma curva \mathbf{r}(t) é essencial conhecer o intervalo de variação de t, digamos de t=a até t=b.

Passo 2

Como o enunciado não especifica nenhum valor para a e b, falta a informação básica do intervalo de t. Sem esse intervalo, não há como montar a integral de comprimento de arco
L=\int_{a}^{b}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt
e, portanto, não se pode encontrar um valor numérico para o comprimento.

Resposta

Não é possível determinar o comprimento do arco porque o intervalo de variação de t (valores de a e b) não foi fornecido.

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