Determine se
\mathbf{F} é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que
\mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y)=e^{x}
cos y
\mathbf{i}+e^{x} \operatorname{sen} y
\mathbf{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y) = \bigl(e^{x}\cos y,\;e^{x}\sin y\bigr)
definido em todo \mathbb{R}^2 (domínio simplesmente conectado) e pede para verificar se ele é conservativo. Se for, devemos encontrar f tal que \nabla f=\mathbf{F}.

Passo 2

Num domínio simplesmente conectado, \mathbf{F}=(F_{1},F_{2}) é conservativo se e somente se
\frac{\partial F_{1}}{\partial y} \;=\;\frac{\partial F_{2}}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial F_{1}}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) =-e^{x}\sin y,
\frac{\partial F_{2}}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\sin y\bigr) =e^{x}\sin y.
Como -e^{x}\sin y\neq e^{x}\sin y em geral, as derivadas cruzadas não coincidem.

Resposta

\mathbf{F} não é conservativo.

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