Determine o comprimento do arco especificado em cada curva dada.
y=ln (1-x^2), 14 <= x <= 34;

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva
y = lnl(1 - x^2r), 14 <= x <= 34
O conteúdo é comprimento de arco de uma função y(x). Vamos usar a fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(y'(x)r)^2;dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y'(x) = ddxlnl(1 - x^2r) = -2x1 - x^2
Logo
1 + l(y'(x)r)^2 = 1 + 4x^2(1 - x^2)^2 = (1 - x^2)^2 + 4x^2(1 - x^2)^2 = (1 + x^2)^2(1 - x^2)^2,
e então
raiz1 + l(y'(x)r)^2 = 1 + x^21 - x^2
Portanto
L = integral14^34 1 + x^21 - x^2,dx

Passo 3

Para facilitar a integração, escrevemos
1 + x^21 - x^2 = -1 ;+; 21 - x^2 = -1 ;+; 11 - x ;+; 11 + x
Assim
L = integral14^34 l(-1 + tfrac11-x + tfrac11+xr),dx

Passo 4

Achar um antiderivado:
integral l(-1r),dx = -x, integral 11 - x,dx = -ln|1 - x|, integral 11 + x,dx = ln|1 + x|
Logo um antiderivado geral é
F(x) = -x ;-;lnl|1 - xr|;+;lnl|1 + xr|

Passo 5

Avaliaremos F(x) entre x=tfrac14 e x=tfrac34:
Em x=tfrac34:
Fl(tfrac34r) = -tfrac34 + ln!1 + tfrac341 - tfrac34 = -tfrac34 + ln!7
Em x=tfrac14:
Fl(tfrac14r) = -tfrac14 + ln!1 + tfrac141 - tfrac14 = -tfrac14 + ln!53
Subtraindo,
L = Fl(tfrac34r) - Fl(tfrac14r) = l(ln 7 - tfrac34r) - l(ln!tfrac53 - tfrac14r) = ln!75/3 - tfrac12 = ln!215 ;-; tfrac12

Resposta

L = ln!215 ;-; 12

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