Determine o comprimento do arco de
que se estende entre os pontos
e
.
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar o comprimento do arco da curva
que liga os pontos
e
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de parametrização de curvas e cálculo de comprimento de arco. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
e depois aplicar a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Observando os pontos
e
, percebemos que as coordenadas
e
de
são
, o que sugere um ângulo de
ou
radianos. Vamos usar um parâmetro
que varia de
a
para descrever a curva. Assim, podemos definir:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas das funções
,
e
em relação a
:
Passo 4
Para calcular o comprimento do arco, usamos a fórmula:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que
e que
. Então:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de
:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que:
Então:
Resposta
O comprimento do arco da curva
entre os pontos
e
é
.