Determine o comprimento do arco de Gamma que se estende entre os pontos P=(1,0,0) e Q=(raiz22, raiz22, ln (raiz2)).

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o comprimento do arco da curva Gamma que liga os pontos P=(1,0,0) e Q=(raiz22, raiz22, ln (raiz2)). Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de parametrização de curvas e cálculo de comprimento de arco. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva Gamma e depois aplicar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva Gamma. Observando os pontos P e Q, percebemos que as coordenadas x e y de Q são raiz22, o que sugere um ângulo de 45^circ ou pi4 radianos. Vamos usar um parâmetro theta que varia de 0 a pi4 para descrever a curva. Assim, podemos definir:
x(theta) = cos theta
y(theta) = sin theta
z(theta) = ln(sec theta) (já que ln(sec theta) = ln(1cos theta) ) á

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas das funções x(theta), y(theta) e z(theta) em relação a theta:
dxdtheta = -sin theta
dydtheta = cos theta
dzdtheta = ddtheta ln(sec theta) = sin thetacos theta = tan theta

Passo 4

Para calcular o comprimento do arco, usamos a fórmula:
S = integrala^b raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 + (dzdtheta)^2 , dtheta
Substituindo as derivadas que encontramos:
S = integral0^pi4 raiz(-sin theta)^2 + (cos theta)^2 + (tan theta)^2 , dtheta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
(-sin theta)^2 + (cos theta)^2 + (tan theta)^2 = sin^2 theta + cos^2 theta + tan^2 theta
Sabemos que sin^2 theta + cos^2 theta = 1 e que 1 + tan^2 theta = sec^2 theta. Então:
sin^2 theta + cos^2 theta + tan^2 theta = 1 + tan^2 theta = sec^2 theta
Portanto, a integral fica:
S = integral0^pi4 raizsec^2 theta , dtheta = integral0^pi4 sec theta , dtheta

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de sec theta:
integral sec theta , dtheta = ln|sec theta + tan theta| + C
Aplicando os limites de integração:
S = [ ln|sec theta + tan theta| ]0^pi4 = ln(sec pi4 + tan pi4) - ln(sec 0 + tan 0)
Sabemos que:
sec pi4 = raiz2, tan pi4 = 1, sec 0 = 1, tan 0 = 0
Então:
S = ln(raiz2 + 1) - ln(1 + 0) = ln(raiz2 + 1) - 0 = ln(1 + raiz2)

Resposta

O comprimento do arco da curva Gamma entre os pontos P e Q é boxedln(1 + raiz2).

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