Determine o comprimento de arco das seguinte curvas:
x=|t|, y=|t-0.5|, t \in[-1,1]

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=|t|,\quad y(t)=|t-0.5|,\quad t\in[-1,1]
e pede o comprimento de arco. O conteúdo usado será a fórmula
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Como há valores absolutos, encontramos os pontos em que mudam as expressões: t=0 para x e t=0.5 para y. Assim dividimos em três intervalos:
- Para -1\le t<0: x(t)=-t\implies x'(t)=-1. Para t<0.5 vale y(t)=0.5-t\implies y'(t)=-1.
- Para 0\le t<0.5: x(t)=t\implies x'(t)=1, ainda y'(t)=-1.
- Para 0.5\le t\le1: x'(t)=1 e agora y(t)=t-0.5\implies y'(t)=1.

Passo 3

Em cada intervalo x'(t) e (y’(t)$ são constantes e satisfazem
\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}=1+1=2,
logo o integrando é \sqrt{2} em toda a extensão.)

Passo 4

O comprimento de arco é
L=\int_{-1}^{1}\sqrt{2}\;dt=\sqrt{2}\,(1-(-1))=2\sqrt{2}.

Resposta

2\sqrt{2}

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