Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
y^{\prime \prime}-4 y=x^{2} e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea
y'' - 4y = x^2 e^{2x}
usando o método de coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução da parte homogênea e depois um particular.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 4y = 0.
A equação característica é r^2 - 4 = 0, de onde r = \pm 2. Logo a solução homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Para o particular, como o termo não homogêneo é x^2 e^{2x} e e^{2x} já aparece em y_h, multiplicamos o palpite padrão (Ax^2+Bx+C)e^{2x} por x. Então propomos
y_p(x) = (A x^3 + B x^2 + C x)\,e^{2x}.

Passo 4

Defina u(x)=A x^3 + B x^2 + C x. Então
y_p = u\,e^{2x},\quad y_p'=(u'+2u)e^{2x},\quad y_p''=(u''+4u'+4u)e^{2x}.
No lado esquerdo da EDO aparece y_p'' -4y_p=(u''+4u'+4u-4u)e^{2x}=(u''+4u')e^{2x}. Como
u' = 3A x^2 + 2B x + C,\quad u'' = 6A x + 2B,
temos
u''+4u' = (6A x + 2B) + 4(3A x^2 + 2B x + C) =12A x^2 + (6A+8B)x + (2B+4C).

Passo 5

Igualando à direita x^2 e^{2x}, obtemos o sistema de coeficientes:
12A = 1,\quad 6A + 8B = 0,\quad 2B + 4C = 0.
Dessa forma A = \tfrac{1}{12}, B = -\tfrac{1}{16} e C = \tfrac{1}{32}.

Passo 6

Substituindo em y_p resulta
y_p(x) = \Bigl(\tfrac{1}{12}x^3 - \tfrac{1}{16}x^2 + \tfrac{1}{32}x\Bigr)e^{2x}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + \Bigl(\tfrac{1}{12}x^3 - \tfrac{1}{16}x^2 + \tfrac{1}{32}x\Bigr)e^{2x}.

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