Determine a solução geral das siguentes edo’s de Bernoulli:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de duas equações de Bernoulli:
e
.
Em geral uma equação de Bernoulli tem forma
Em geral uma equação de Bernoulli tem forma
e se
faz-se a substituição
para obter uma equação linear em
.
Passo 2
Resolvendo
.
Aqui podemos enxergar direto como separável ou como linear homogênea ( com sinal invertido), mas é mais simples separar:
Aqui podemos enxergar direto como separável ou como linear homogênea (
integramos ambos os lados:
logo
onde
é constante arbitrária.
Passo 3
Resolvendo
.
Esta é de Bernoulli com ,
e
. Fazemos
Esta é de Bernoulli com
Calculamos
em função de
:
Mas como
, coloca-se em
:
Agora integramos diretamente:
Voltando a
:
Resposta
Soluções gerais:
Para :
Para
Para
:
onde
é constante arbitrária.