Determine a solução geral das siguentes edo’s de Bernoulli:
y^{\prime}=x y=x^{3} y^{3}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de duas equações de Bernoulli: y' = x\,y e y' = x^{3}\,y^{3}.
Em geral uma equação de Bernoulli tem forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
e se n\neq0,1 faz-se a substituição u = y^{1-n} para obter uma equação linear em u.

Passo 2

Resolvendo y' = x\,y.
Aqui podemos enxergar direto como separável ou como linear homogênea ( P(x)=-x com sinal invertido), mas é mais simples separar:
\frac{y'}{y} = x
integramos ambos os lados:
\int \frac{y'}{y}\,dx = \int x\,dx
\ln\lvert y\rvert = \frac{x^{2}}{2} + C_{1}
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y = C\,e^{\tfrac{x^{2}}{2}},
onde C=e^{C_{1}} é constante arbitrária.

Passo 3

Resolvendo y' = x^{3}\,y^{3}.
Esta é de Bernoulli com P(x)=0, Q(x)=x^{3} e n=3. Fazemos
u = y^{1-3} = y^{-2}.
Calculamos u' em função de y:
u = y^{-2} \quad\Longrightarrow\quad u' = -2\,y^{-3}\,y'.
Mas como y' = x^{3}\,y^{3}, coloca-se em u':
u' = -2\,y^{-3}\,(x^{3}\,y^{3}) = -2\,x^{3}.
Agora integramos diretamente:
u' = -2\,x^{3} \quad\Longrightarrow\quad u = \int -2\,x^{3}\,dx = -\tfrac{2\,x^{4}}{4} + C_{2} = -\tfrac{x^{4}}{2} + C_{2}.
Voltando a y:
y^{-2} = -\tfrac{x^{4}}{2} + C_{2} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{1}{\,C_{2} - \tfrac{x^{4}}{2}\,} \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\frac{1}{\sqrt{\,C_{2} - \tfrac{x^{4}}{2}\,}}.

Resposta

Soluções gerais:
Para y' = x\,y:
y(x) = C\,e^{\tfrac{x^{2}}{2}}.
Para y' = x^{3}\,y^{3}:
y(x) = \pm\frac{1}{\sqrt{\,C - \tfrac{x^{4}}{2}\,}},
onde C é constante arbitrária.

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