Determine o comprimento das curva abaixo:
x=\int_{0}^{y} \sqrt{\operatorname{sec} ^{2}(t)-1} d t, \operatorname{com} 0 \leq y \leq \pi / 4.

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas paramétricas (x(y),y) para 0\le y\le\pi/4, com
x(y)=\int_{0}^{y}\sqrt{\operatorname{sec}^{2}(t)-1}\,dt.
Queremos o comprimento dessa curva. O conteúdo usado será a fórmula
L=\int_{y_{1}}^{y_{2}}\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dy}\Bigr)^{2}+1}\,dy.

Passo 2

Note que para t\in[0,\pi/4] vale \operatorname{sec}^{2}t\ge1 e
\sqrt{\operatorname{sec}^{2}t-1}=\tan t.
Portanto
x(y)=\int_{0}^{y}\tan t\,dt=-\ln\bigl(\cos y\bigr).

Passo 3

Derivando, obtemos
\frac{dx}{dy}=\tan y.
Assim a fórmula do comprimento vira
L=\int_{0}^{\pi/4}\sqrt{1+\tan^{2}y}\,dy =\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec} y\,dy.

Passo 4

A primitiva de \operatorname{sec} y é
\int\operatorname{sec} y\,dy=\ln\bigl|\operatorname{sec} y+\tan y\bigr|+C.
Logo
L=\Bigl[\ln\bigl(\operatorname{sec} y+\tan y\bigr)\Bigr]_{0}^{\pi/4} =\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)-\ln(1) =\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).

Resposta

\displaystyle \ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)

Exercícios relacionados