Estabeleça uma integral para a área da superfície gerada pela rotação da curva dada em tomo do eixo indicado. (Se for possível, calcule.)
y=\sqrt{1-x^{2}}, \quad-1 \leq x \leq 1, \quad eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao rotacionar a curva \,y=\sqrt{1-x^2}, para -1\le x\le1, em torno do eixo x. Isso é um caso clássico de área de superfície de revolução. Vamos usar a fórmula
S=\int_{a}^{b}2\pi\,y\;\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calculemos y'(x) e o elemento de arco ds.
y(x)=\sqrt{1-x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1-x^{2}\bigr)^{1/2} =-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Assim,
ds=\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx =\sqrt{1+\frac{x^{2}}{1-x^{2}}}\;dx =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\;dx.

Passo 3

Substituindo y e ds na fórmula de S, obtemos
S =\int_{-1}^{1}2\pi\,\sqrt{1-x^{2}}\;\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\;dx =\int_{-1}^{1}2\pi\;dx.

Passo 4

A integral é imediata:
S =2\pi\bigl[x\bigr]_{-1}^{1} =2\pi\,(1-(-1)) =4\pi.

Resposta

A área da superfície é 4\pi.

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