Determine o comprimento das curva abaixo:
, com
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva definida por
O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de arco de uma curva dada por
. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas cartesianas.
Passo 2
A fórmula do comprimento de arco de
no intervalo
é
Aqui,
, logo
Passo 3
Substituindo
na fórmula do comprimento, obtemos
Passo 4
Para simplificar um pouco, note que
então
Mas, ainda assim, a primitiva de
não é elementar em termos de funções usuais.
Passo 5
Portanto, deixamos o comprimento como integral definida e, se necessário, fazemos uma aproximação numérica. Usando métodos numéricos (por exemplo, regra de Simpson), obtém-se