Determine o comprimento das curva abaixo:
y=\int_{0}^{x} \sqrt{\tan (t)} d t, com 0 \leq x \leq \pi / 6.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por
y = \int_{0}^{x} \sqrt{\tan(t)}\,dt,\quad 0 \le x \le \frac{\pi}{6}.
O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de arco de uma curva dada por y=y(x). Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas cartesianas.

Passo 2

A fórmula do comprimento de arco de y=f(x) no intervalo [a,b] é
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Aqui, f(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{\tan(t)}\,dt, logo
f'(x) = \sqrt{\tan(x)}.

Passo 3

Substituindo f'(x) na fórmula do comprimento, obtemos
L = \int_{0}^{\pi/6} \sqrt{1 + \bigl(\sqrt{\tan(x)}\bigr)^{2}}\;dx = \int_{0}^{\pi/6} \sqrt{1 + \tan(x)}\;dx.

Passo 4

Para simplificar um pouco, note que
1 + \tan(x) = \frac{\sin(x) + \cos(x)}{\cos(x)},
então
\sqrt{1 + \tan(x)} = \sqrt{\frac{\sin(x)+\cos(x)}{\cos(x)}} = \frac{\sqrt{\sin(x)+\cos(x)}}{\sqrt{\cos(x)}}.
Mas, ainda assim, a primitiva de \sqrt{1+\tan(x)} não é elementar em termos de funções usuais.

Passo 5

Portanto, deixamos o comprimento como integral definida e, se necessário, fazemos uma aproximação numérica. Usando métodos numéricos (por exemplo, regra de Simpson), obtém-se
L = \int_{0}^{\pi/6} \sqrt{1 + \tan(x)}\;dx \approx 0{,}593.

Resposta

L = \int_{0}^{\pi/6} \sqrt{1 + \tan(x)}\;dx \approx 0{,}593.

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