Determine o comprimento da curva dada na forma paramétrica por x=(\cos t)^{3} e y=(\text { sent })^{3} entre 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=(\cos t)^3,\qquad y=(\sin t)^3
para 0\le t\le 2\pi, e pede o comprimento dessa curva no intervalo de parâmetro indicado.
Informações relevantes: as duas coordenadas são funções suaves de t (potências de seno e cosseno) e o intervalo do parâmetro é [0,2\pi].
O que se pede: calcular o comprimento L da curva entre t=0 e t=2\pi.

Passo 2

Fórmula que usamos (explicando bem): o comprimento de uma curva paramétrica (x(t),y(t)) para a\le t\le b é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\;dt.
Por que isso? Pense numa pequena variação \Delta t. A variação no plano é aproximadamente \Delta s\approx\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}. Dividindo por \Delta t e passando ao limite obtemos a raiz quadrada dos quadrados das derivadas multiplicada por dt. Aqui \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} são as taxas de variação das coordenadas em relação a t.

Passo 3

Calculamos as derivadas usando a regra da cadeia (explico passo a passo): se x=(\cos t)^3, então, por regra da cadeia,
\frac{dx}{dt}=3(\cos t)^2\cdot\frac{d}{dt}(\cos t)=3(\cos t)^2\cdot(-\sin t)=-3\cos^2 t\sin t.
De forma análoga, se y=(\sin t)^3,
\frac{dy}{dt}=3(\sin t)^2\cdot\frac{d}{dt}(\sin t)=3(\sin t)^2\cdot\cos t=3\sin^2 t\cos t.
Aqui eu usei que \frac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \frac{d}{dt}\sin t=\cos t.

Passo 4

Agora formamos a soma dos quadrados das derivadas e simplificamos:
\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 =(-3\cos^2 t\sin t)^2+(3\sin^2 t\cos t)^2.
Calculando:
=9\cos^4 t\sin^2 t+9\sin^4 t\cos^2 t.
Fatorando 9\cos^2 t\sin^2 t:
=9\cos^2 t\sin^2 t\bigl(\cos^2 t+\sin^2 t\bigr).
Mas sabemos que \cos^2 t+\sin^2 t=1 para todo t. Logo
\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2=9\cos^2 t\sin^2 t.

Passo 5

Tomando a raiz quadrada:
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=3\,|\cos t\sin t|.
Observação importante: o valor absoluto aparece porque a raiz quadrada dá sempre não-negativo, então \sqrt{\cos^2 t\sin^2 t}=|\cos t\sin t|.

Passo 6

Substituímos na integral do comprimento:
L=\int_{0}^{2\pi}3\,|\cos t\sin t|\;dt.
Usamos a identidade trigonométrica \sin 2t=2\sin t\cos t, então |\cos t\sin t|=\tfrac{1}{2}|\sin 2t|. Assim
L=\int_{0}^{2\pi}3\cdot\frac{1}{2}|\sin 2t|\;dt=\frac{3}{2}\int_{0}^{2\pi}|\sin 2t|\;dt.

Passo 7

Agora avaliamos \int_{0}^{2\pi}|\sin 2t|\;dt. Uma maneira direta é notar o comportamento de \sin 2t: ele tem período \pi e muda de sinal a cada intervalo de comprimento \tfrac{\pi}{2}. Podemos dividir [0,2\pi] em quatro subintervalos de comprimento \tfrac{\pi}{2} onde |\sin 2t| é igual a \sin 2t ou -\sin 2t, mas todos têm a mesma integral em módulo. Calculemos em um subintervalo onde \sin 2t\ge0, por exemplo t\in[0,\tfrac{\pi}{2}]:
\int_{0}^{\pi/2}\sin 2t\;dt=\left[-\tfrac{1}{2}\cos 2t\right]_{0}^{\pi/2} =-\tfrac{1}{2}(\cos \pi-\cos 0)=-\tfrac{1}{2}(-1-1)=1.
Cada um dos quatro subintervalos dá integral 1 (em valor absoluto), portanto
\int_{0}^{2\pi}|\sin 2t|\;dt=4.

Passo 8

Voltando para L:
L=\frac{3}{2}\cdot 4=6.
Ou, se preferir ver por substituição rápida: com u=2t teríamos dt=\tfrac{1}{2}du e \int_{0}^{2\pi}|\sin 2t|dt=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{4\pi}|\sin u|du, como \int_{0}^{2\pi}|\sin u|du=4 então \int_{0}^{4\pi}|\sin u|du=8 e tudo dá o mesmo L=6.

Resposta

6

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