Determine o comprimento da curva dada na forma paramétrica por
e
entre
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
para
, e pede o comprimento dessa curva no intervalo de parâmetro indicado.
Informações relevantes: as duas coordenadas são funções suaves de (potências de seno e cosseno) e o intervalo do parâmetro é
.
O que se pede: calcular o comprimento da curva entre
e
.
Informações relevantes: as duas coordenadas são funções suaves de
O que se pede: calcular o comprimento
Passo 2
Fórmula que usamos (explicando bem): o comprimento de uma curva paramétrica
para
é dado por
Por que isso? Pense numa pequena variação
. A variação no plano é aproximadamente
. Dividindo por
e passando ao limite obtemos a raiz quadrada dos quadrados das derivadas multiplicada por
. Aqui
e
são as taxas de variação das coordenadas em relação a
.
Passo 3
Calculamos as derivadas usando a regra da cadeia (explico passo a passo): se
, então, por regra da cadeia,
De forma análoga, se
,
Aqui eu usei que
e
.
Passo 4
Agora formamos a soma dos quadrados das derivadas e simplificamos:
Calculando:
Fatorando
:
Mas sabemos que
para todo
. Logo
Passo 5
Tomando a raiz quadrada:
Observação importante: o valor absoluto aparece porque a raiz quadrada dá sempre não-negativo, então
.
Passo 6
Substituímos na integral do comprimento:
Usamos a identidade trigonométrica
, então
. Assim
Passo 7
Agora avaliamos
. Uma maneira direta é notar o comportamento de
: ele tem período
e muda de sinal a cada intervalo de comprimento
. Podemos dividir
em quatro subintervalos de comprimento
onde
é igual a
ou
, mas todos têm a mesma integral em módulo. Calculemos em um subintervalo onde
, por exemplo
:
Cada um dos quatro subintervalos dá integral
(em valor absoluto), portanto
Passo 8
Voltando para
:
Ou, se preferir ver por substituição rápida: com
teríamos
e
, como
então
e tudo dá o mesmo
.
Resposta
6