Ache o valor médio da função no intervalo:
1+\sqrt{x},[0,4]

Passo 1

O enunciado pede: “Ache o valor médio da função no intervalo”. A função e o intervalo fornecidos são:
f(x)=1+\sqrt{x},\quad \text{no intervalo }[0,4].
Informações relevantes que temos:
\text{função: }f(x)=1+\sqrt{x},çã
\text{intervalo: }a=0,\; b=4.
A pergunta é: qual é o valor médio (média aritmética contínua) de f em [0,4]?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: o valor médio de uma função f em um intervalo [a,b] é a média das alturas da curva, e é calculado por
\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Explicando: \int_{a}^{b} f(x)\,dx representa a área sob a curva f entre a e b. Dividindo essa área pelo comprimento do intervalo (b-a) obtemos a altura constante que teria a mesma área — isso é a média da função no intervalo. Aqui a e b são os extremos do intervalo; x é a variável independente; \bar{f} é o valor médio procurado.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso com a=0 e b=4:
\bar{f}=\frac{1}{4-0}\int_{0}^{4} \bigl(1+\sqrt{x}\bigr)\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{4} \bigl(1+\sqrt{x}\bigr)\,dx.
Agora precisamos calcular a integral definida \int_{0}^{4} (1+\sqrt{x})\,dx.

Passo 4

Como integrar cada termo: use a regra da potência. Para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso \sqrt{x}=x^{1/2}. Então:
\int 1\,dx = x + C,
\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}+C.
Portanto uma primitiva de 1+\sqrt{x} é
F(x)=x+\frac{2}{3}x^{3/2}.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando F:
\int_{0}^{4} \bigl(1+\sqrt{x}\bigr)\,dx = F(4)-F(0).
Calcule F(4):
F(4)=4+\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}.
Calcule 4^{3/2}: isso é (\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8. Então
F(4)=4+\frac{2}{3}\cdot 8=4+\frac{16}{3}.
Calcule F(0):
F(0)=0+\frac{2}{3}\cdot 0^{3/2}=0.
Logo
\int_{0}^{4} \bigl(1+\sqrt{x}\bigr)\,dx = 4+\frac{16}{3}=\frac{12}{3}+\frac{16}{3}=\frac{28}{3}.

Passo 6

Agora volte à fórmula do valor médio:
\bar{f}=\frac{1}{4}\cdot \frac{28}{3}=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}.
Em decimal isso é aproximadamente 2{,}333\ldots.

Passo 7

Interpretação rápida para conferir sentido: f(0)=1 e f(4)=1+\sqrt{4}=3. O valor médio \frac{7}{3}\approx2{,}33 está entre 1 e 3, como deve ser. Bom trabalho — isso significa que a “altura média” da curva em [0,4] é \frac{7}{3}.

Resposta

\dfrac{7}{3}

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