Ache o valor médio da função no intervalo:
Passo 1
O enunciado pede: “Ache o valor médio da função no intervalo”. A função e o intervalo fornecidos são:
Informações relevantes que temos:
A pergunta é: qual é o valor médio (média aritmética contínua) de
em
?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar: o valor médio de uma função
em um intervalo
é a média das alturas da curva, e é calculado por
Explicando:
representa a área sob a curva
entre
e
. Dividindo essa área pelo comprimento do intervalo
obtemos a altura constante que teria a mesma área — isso é a média da função no intervalo. Aqui
e
são os extremos do intervalo;
é a variável independente;
é o valor médio procurado.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
e
:
Agora precisamos calcular a integral definida
.
Passo 4
Como integrar cada termo: use a regra da potência. Para
,
No nosso caso
. Então:
Portanto uma primitiva de
é
Passo 5
Avaliar a integral definida usando
:
Calcule
:
Calcule
: isso é
. Então
Calcule
:
Logo
Passo 6
Agora volte à fórmula do valor médio:
Em decimal isso é aproximadamente
.
Passo 7
Interpretação rápida para conferir sentido:
e
. O valor médio
está entre
e
, como deve ser. Bom trabalho — isso significa que a “altura média” da curva em
é
.