Ache o valor médio da função no intervalo:
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}},[0,3]

Passo 1

O enunciado pede: "Ache o valor médio da função no intervalo: \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}},[0,3]".
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} e o intervalo é [0,3].
Pergunta clara: calcular o valor médio de f no intervalo [0,3], ou seja, um único número que representa a média dos valores de f ao longo desse intervalo.

Passo 2

Fórmula do valor médio de uma função contínua f no intervalo [a,b]:
\text{valor médio}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.é
Explicando devagar: \int_{a}^{b} f(x)\,dx é a área algébrica sob o gráfico de f entre x=a e x=b. Dividindo essa área pelo comprimento do intervalo (b-a) obtemos a “altura” média — o valor médio. Aqui a=0 e b=3, então
\text{valor médio}=\frac{1}{3-0}\int_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx.é

Passo 3

Agora precisamos calcular a integral \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx. Vou ensinar uma técnica padrão: substituição. A ideia é escolher uma nova variável que simplifique a raiz. Tome
u = x^{2}+1.
Então diferencie ambos os lados em relação a x:
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral:
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du.
Agora usamos a regra da primitiva de uma potência: \int u^{p}\,du=\dfrac{u^{p+1}}{p+1}+C para p\neq -1. Aqui p=-\tfrac{1}{2}, então
\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = u^{1/2}+C = \sqrt{u}+C.
Voltando para x, obtemos a primitiva
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \sqrt{x^{2}+1}+C.
Dica prática para a prova: sempre que aparecer \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a}} a substituição u=x^{2}+a costuma resolver direto.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva encontrada. Temos
\int_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \left[\sqrt{x^{2}+1}\right]_{0}^{3} = \sqrt{3^{2}+1}-\sqrt{0^{2}+1}.
Calcule os termos:
\sqrt{3^{2}+1}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10},\qquad \sqrt{0^{2}+1}=\sqrt{1}=1.
Portanto
\int_{0}^{3}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx = \sqrt{10}-1.

Passo 5

Retornamos à fórmula do valor médio e dividimos pelo comprimento do intervalo, que é 3:
\text{valor médio}=\frac{1}{3}\big(\sqrt{10}-1\big)=\frac{\sqrt{10}-1}{3}.é
Se quiser uma ideia numérica rápida para conferir na prova: \sqrt{10}\approx 3,1623, então o valor médio \approx \dfrac{3,1623-1}{3}\approx \dfrac{2,1623}{3}\approx 0,7208. Mas a forma exata é melhor deixar como fração com raiz.

Resposta

\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}

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