Ache o valor médio da função no intervalo:
Passo 1
O enunciado pede: "Ache o valor médio da função no intervalo:
".
Informações dadas: a função é e o intervalo é
.
Pergunta clara: calcular o valor médio de no intervalo
, ou seja, um único número que representa a média dos valores de
ao longo desse intervalo.
Informações dadas: a função é
Pergunta clara: calcular o valor médio de
Passo 2
Fórmula do valor médio de uma função contínua
no intervalo
:
Explicando devagar:
é a área algébrica sob o gráfico de
entre
e
. Dividindo essa área pelo comprimento do intervalo
obtemos a “altura” média — o valor médio. Aqui
e
, então
Passo 3
Agora precisamos calcular a integral
. Vou ensinar uma técnica padrão: substituição. A ideia é escolher uma nova variável que simplifique a raiz. Tome
Então diferencie ambos os lados em relação a
:
Substituindo na integral:
Agora usamos a regra da primitiva de uma potência:
para
. Aqui
, então
Voltando para
, obtemos a primitiva
Dica prática para a prova: sempre que aparecer
a substituição
costuma resolver direto.
Passo 4
Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva encontrada. Temos
Calcule os termos:
Portanto
Passo 5
Retornamos à fórmula do valor médio e dividimos pelo comprimento do intervalo, que é
:
Se quiser uma ideia numérica rápida para conferir na prova:
, então o valor médio
. Mas a forma exata é melhor deixar como fração com raiz.