\mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial componente a componente, isto é, o vetor velocidade.
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert é a norma (módulo) desse vetor, ou seja a velocidade escalar.
Intuitivamente, dividimos a curva em pedaços pequenos, aproximando cada pedaço por um segmento cujo comprimento é aproximadamente \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert \Delta t; somando e passando ao limite obtemos a integral acima.
Passo 3
Calcular \mathbf{r}'(t) componente a componente (lembrando regras básicas de derivação: \tfrac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1} e \tfrac{d}{dt}(c t)=c para constante c).
Derivada da primeira componente t^{2}: \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t.
Derivada da segunda componente 9t: \dfrac{d}{dt}9t=9.
Derivada da terceira componente 4t^{3/2}: usar t^{3/2} com regra de potência: \dfrac{d}{dt}t^{3/2}=\tfrac{3}{2}t^{1/2}. Então \dfrac{d}{dt}4t^{3/2}=4\cdot\tfrac{3}{2}t^{1/2}=6t^{1/2}.
Logo,
\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\;9,\;6t^{1/2}\rangle.
Passo 4
Calcular a norma \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert. A norma de um vetor \langle a,b,c\rangle é \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. Aplicando: