Determine o comprimento da curva.
\mathbf{r}(t)=t^{2} \mathbf{i}+9 t \mathbf{j}+4 t^{3 / 2} \mathbf{k}, \quad 1 \leq t \leq 4

Passo 1

O enunciado pede: determinar o comprimento da curva dada por
\mathbf{r}(t)=t^{2}\,\mathbf{i}+9t\,\mathbf{j}+4t^{3/2}\,\mathbf{k}, \quad 1\le t\le4.
Informações fornecidas:
  • A função vetor \mathbf{r}(t) tem três componentes escalares: \,t^{2}\,, \,9t\, e \,4t^{3/2}\,.
  • O intervalo de parâmetro é [1,4].
    O que é pedido: calcular o comprimento (arco) da curva entre t=1 e t=4.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicando bem): o comprimento de arco S de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) em t\in[a,b] é dado por
S=\int_{a}^{b}\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert\,dt.
Aqui:
  • \mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial componente a componente, isto é, o vetor velocidade.
  • \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert é a norma (módulo) desse vetor, ou seja a velocidade escalar.
  • Intuitivamente, dividimos a curva em pedaços pequenos, aproximando cada pedaço por um segmento cujo comprimento é aproximadamente \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert \Delta t; somando e passando ao limite obtemos a integral acima.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(t) componente a componente (lembrando regras básicas de derivação: \tfrac{d}{dt}t^{n}=nt^{n-1} e \tfrac{d}{dt}(c t)=c para constante c).
  • Derivada da primeira componente t^{2}: \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t.
  • Derivada da segunda componente 9t: \dfrac{d}{dt}9t=9.
  • Derivada da terceira componente 4t^{3/2}: usar t^{3/2} com regra de potência: \dfrac{d}{dt}t^{3/2}=\tfrac{3}{2}t^{1/2}. Então \dfrac{d}{dt}4t^{3/2}=4\cdot\tfrac{3}{2}t^{1/2}=6t^{1/2}.
Logo,
\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\;9,\;6t^{1/2}\rangle.

Passo 4

Calcular a norma \big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert. A norma de um vetor \langle a,b,c\rangle é \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. Aplicando:
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert =\sqrt{(2t)^{2}+9^{2}+(6t^{1/2})^{2}} =\sqrt{4t^{2}+81+36t}.
Agora simplificar o polinômio dentro da raiz. Note que
4t^{2}+36t+81
é exatamente um quadrado perfeito, pois (2t+9)^{2}=4t^{2}+36t+81. Portanto
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=\sqrt{(2t+9)^{2}}=|2t+9|.

Passo 5

Determinar o sinal de 2t+9 no intervalo 1\le t\le4. Para t\ge1,
2t+9\ge 2\cdot1+9=11>0.
Logo 2t+9 é positivo em todo o intervalo dado, de modo que |2t+9|=2t+9. Assim a velocidade escalar simplifica para
\big\lVert \mathbf{r}'(t)\big\rVert=2t+9\quad\text{para }1\le t\le4.

Passo 6

Montar a integral do comprimento e calcular a primitiva. Pela fórmula do Passo 2:
S=\int_{1}^{4}(2t+9)\,dt.
Integramos termo a termo (regra: \int at\,dt = a\cdot \tfrac{t^{2}}{2}, \int c\,dt = c t para constantes a,c):
\int(2t+9)\,dt = \int 2t\,dt + \int 9\,dt = 2\cdot\frac{t^{2}}{2} + 9t = t^{2}+9t.

Passo 7

Avaliar a primitiva entre os limites 1 e 4:
S=\big[t^{2}+9t\big]_{1}^{4}=(4^{2}+9\cdot4)-(1^{2}+9\cdot1).
Calcular os termos:
4^{2}+9\cdot4=16+36=52, \qquad 1^{2}+9\cdot1=1+9=10.
Subtraindo:
S=52-10=42.

Resposta

\,42

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