Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A função integranda é
. - O denominador fatoriza como
, portanto a expressão não está definida em . - A integral é indefinida, então o resultado virá com uma constante de integração
.
Passo 2
Estratégia inicial (explicada passo a passo, sem pular): observar que o numerador
pode ser separado em duas parcelas, uma proporcional à derivada do denominador
e outra restante
. Essa separação facilita usar substituição em uma parcela e frações parciais na outra. Vamos fazer essa separação algébrica.
Passo 3
Separar a fração em duas partes:
Assim a integral se escreve como soma de duas integrais:
Passo 4
Resolver a primeira integral por substituição simples. Seja
. Então
Portanto
Explicação didática rápida: quando o numerador é exatamente a derivada do denominador, a substituição transforma a integral numa integral do tipo
, cuja primitiva é
.
Passo 5
Agora tratar a segunda integral
Como
, usa-se decomposição em frações parciais do tipo
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 6
Encontrar
e
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Escolhendo valores de
que simplificam:
- Para
: então . - Para
: então .
Logo
Passo 7
Integrar a decomposição obtida:
Cada integral é do tipo
. Portanto
Passo 8
Somar os resultados das duas parcelas (lembrando que as constantes
e
se juntam em uma só constante
):
Passo 9
Podemos simplificar as somas de logaritmos usando
. Substituindo:
Calculando os coeficientes:
Então uma forma compacta e conveniente da primitiva é