Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{2 x+1}{x^{2}-9} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{2x+1}{x^{2}-9}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função integranda é \dfrac{2x+1}{x^{2}-9}.
  • O denominador fatoriza como x^{2}-9=(x-3)(x+3), portanto a expressão não está definida em x=\pm3.
  • A integral é indefinida, então o resultado virá com uma constante de integração C.

Passo 2

Estratégia inicial (explicada passo a passo, sem pular): observar que o numerador (2x+1) pode ser separado em duas parcelas, uma proporcional à derivada do denominador (2x) e outra restante (1). Essa separação facilita usar substituição em uma parcela e frações parciais na outra. Vamos fazer essa separação algébrica.

Passo 3

Separar a fração em duas partes:
\frac{2x+1}{x^{2}-9}=\frac{2x}{x^{2}-9}+\frac{1}{x^{2}-9}.
Assim a integral se escreve como soma de duas integrais:
\int \frac{2x+1}{x^{2}-9}\,dx = \int \frac{2x}{x^{2}-9}\,dx + \int \frac{1}{x^{2}-9}\,dx.

Passo 4

Resolver a primeira integral por substituição simples. Seja u=x^{2}-9. Então
du = 2x\,dx.
Portanto
\int \frac{2x}{x^{2}-9}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C_1 = \ln|x^{2}-9| + C_1.
Explicação didática rápida: quando o numerador é exatamente a derivada do denominador, a substituição transforma a integral numa integral do tipo \int \frac{1}{u}\,du, cuja primitiva é \ln|u|.

Passo 5

Agora tratar a segunda integral
\int \frac{1}{x^{2}-9}\,dx.
Como x^{2}-9=(x-3)(x+3), usa-se decomposição em frações parciais do tipo
\frac{1}{x^{2}-9}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+3},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 6

Encontrar A e B. Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+3) obtemos
1 = A(x+3)+B(x-3).
Escolhendo valores de x que simplificam:
  • Para x=3: 1 = A(6) então A=\dfrac{1}{6}.
  • Para x=-3: 1 = B(-6) então B=-\dfrac{1}{6}.
Logo
\frac{1}{x^{2}-9}=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x-3}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{x+3}.

Passo 7

Integrar a decomposição obtida:
\int \frac{1}{x^{2}-9}\,dx = \frac{1}{6}\int \frac{1}{x-3}\,dx - \frac{1}{6}\int \frac{1}{x+3}\,dx.
Cada integral é do tipo \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|. Portanto
\int \frac{1}{x^{2}-9}\,dx = \frac{1}{6}\ln|x-3| - \frac{1}{6}\ln|x+3| + C_2.

Passo 8

Somar os resultados das duas parcelas (lembrando que as constantes C_1 e C_2 se juntam em uma só constante C):
\int \frac{2x+1}{x^{2}-9}\,dx = \ln|x^{2}-9| + \frac{1}{6}\ln|x-3| - \frac{1}{6}\ln|x+3| + C.

Passo 9

Podemos simplificar as somas de logaritmos usando \ln|x^{2}-9|=\ln|x-3|+\ln|x+3|. Substituindo:
\ln|x^{2}-9| + \frac{1}{6}\ln|x-3| - \frac{1}{6}\ln|x+3| = \left(1+\frac{1}{6}\right)\ln|x-3| + \left(1-\frac{1}{6}\right)\ln|x+3|.
Calculando os coeficientes:
1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6},\qquad 1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.
Então uma forma compacta e conveniente da primitiva é
\frac{7}{6}\ln|x-3|+\frac{5}{6}\ln|x+3|+C.

Resposta

\frac{7}{6}\ln|x-3|+\frac{5}{6}\ln|x+3|+C

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