Ache a área da região delimitada pelas retas x=-1, x=1, y=0 e pelo gráfico de f(x)=x /\left(x^{2}+3\right).

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas retas x=-1, x=1, y=0 e pelo gráfico da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+3}.
Informações dadas importantes:
  • As fronteiras verticais são x=-1 e x=1.
  • A fronteira inferior/ superior é y=0 (eixo x).
  • A curva é dada por f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+3}.
    A pergunta explícita: calcular a área dessa região fechada.

Passo 2

Entender a forma da região e o sinal da função (isso determina como montar o integral de área).
  • Observe que para x>0 tem-se f(x)>0 e para x<0 tem-se f(x)<0. De fato,
f(-x)=\frac{-x}{(-x)^{2}+3}=-\frac{x}{x^{2}+3}=-f(x),
ou seja, f é uma função ímpar (simétrica com sinal trocado em relação à origem).
  • A área entre a curva e o eixo x no intervalo [-1,1] é dada por
\text{Área}=\int_{-1}^{1}\bigl|f(x)\bigr|\,dx,Á
pois em [-1,0) a curva está abaixo do eixo ( f<0) e em (0,1] está acima ( f>0).

Passo 3

Aproveitar a simetria ímpar para simplificar o cálculo do integral de valor absoluto.
  • Como f é ímpar, \bigl|f(x)\bigr| é par: \bigl|f(-x)\bigr|=\bigl|{-f(x)}\bigr|=\bigl|f(x)\bigr|.
  • Logo
\int_{-1}^{1}\bigl|f(x)\bigr|\,dx=2\int_{0}^{1}f(x)\,dx,
porque em [0,1] temos f(x)\ge0 e portanto \bigl|f(x)\bigr|=f(x).
Portanto basta calcular \displaystyle 2\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+3}\,dx.

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+3}\,dx por substituição (método).
  • Ideia da substituição: ver que o numerador é proporcional à derivada do denominador. Seja
u=x^{2}+3.
  • Então
du=2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
  • Trocar os limites: quando x=0, u=0^{2}+3=3. Quando x=1, u=1^{2}+3=4.
  • Substituindo na integral:
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+3}\,dx=\int_{u=3}^{u=4}\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\int_{3}^{4}\frac{1}{u}\,du.

Passo 5

Calcular a integral de 1/u e voltar para x.
  • A primitiva de 1/u é o logaritmo natural: \displaystyle \int\frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C.
  • Então
\frac{1}{2}\int_{3}^{4}\frac{1}{u}\,du=\frac{1}{2}\bigl[\ln|u|\bigr]_{3}^{4}=\frac{1}{2}\bigl(\ln 4-\ln 3\bigr).
  • Lembrando do fator 2 que tínhamos ao transformar a área, a área total é
\text{Área}=2\cdot\left(\frac{1}{2}\bigl(\ln 4-\ln 3\bigr)\right)=\ln 4-\ln 3.Á

Passo 6

Simplificar a expressão usando a propriedade dos logaritmos.
  • Usando \ln a-\ln b=\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right),
\text{Área}=\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).Á
Se quiser um valor aproximado, \ln\!\left(\dfrac{4}{3}\right)\approx 0,2877, mas a forma exata é preferível em prova.

Resposta

\ln\!\left(\dfrac{4}{3}\right)

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