Ache a área da região delimitada pelas retas
,
e pelo gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas retas
,
,
e pelo gráfico da função
Informações dadas importantes:
- As fronteiras verticais são
e . - A fronteira inferior/ superior é
(eixo ). - A curva é dada por
.
A pergunta explícita: calcular a área dessa região fechada.
Passo 2
Entender a forma da região e o sinal da função (isso determina como montar o integral de área).
- Observe que para
tem-se e para tem-se . De fato,
ou seja,
é uma função ímpar (simétrica com sinal trocado em relação à origem).
- A área entre a curva e o eixo
no intervalo é dada por
pois em
a curva está abaixo do eixo (
) e em
está acima (
).
Passo 3
Aproveitar a simetria ímpar para simplificar o cálculo do integral de valor absoluto.
- Como
é ímpar, é par: . - Logo
porque em
temos
e portanto
.
Portanto basta calcular .
Portanto basta calcular
Passo 4
Calcular a integral
por substituição (método).
- Ideia da substituição: ver que o numerador é proporcional à derivada do denominador. Seja
- Então
- Trocar os limites: quando
, . Quando , . - Substituindo na integral:
Passo 5
Calcular a integral de
e voltar para
.
- A primitiva de
é o logaritmo natural: . - Então
- Lembrando do fator
que tínhamos ao transformar a área, a área total é
Passo 6
Simplificar a expressão usando a propriedade dos logaritmos.
- Usando
,
Se quiser um valor aproximado,
, mas a forma exata é preferível em prova.