Determine o comprimento das curvas dadas abaixo.
\alpha(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), \quad 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada
\alpha(t)=\left(t,\;t^{2},\;t^{3}\right) para 0\le t\le1.
Informações dadas:
  • A curva está em \mathbb{R}^{3} e é parametrizada por t no intervalo [0,1].
  • Quer-se o comprimento (arc length) da porção da curva correspondente a esse intervalo de parâmetros.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (e por que ela é válida).
Para uma curva suave \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^{n}, \alpha(t)=(x_{1}(t),\dots,x_{n}(t)), o comprimento da curva é
L=\int_{a}^{b}\left\lVert \alpha'(t)\right\rVert\,dt.
Aqui \alpha'(t) é o vetor velocidade \big(x_{1}'(t),\dots,x_{n}'(t)\big) e \left\lVert \cdot\right\rVert é a norma euclidiana. Intuitivamente, dividimos o intervalo em pedaços pequenos, aproximamos cada trecho por um segmento cuja comprimento é \|\alpha'(t)\|\,\Delta t e somamos, que no limite dá a integral acima.

Passo 3

Calcular a derivada \alpha'(t) componente a componente e a norma.
Derivando componente a componente:
\alpha'(t)=\left( \dfrac{d}{dt}t,\; \dfrac{d}{dt}t^{2},\; \dfrac{d}{dt}t^{3}\right)=\left(1,\;2t,\;3t^{2}\right).
A norma euclidiana é
\left\lVert \alpha'(t)\right\rVert=\sqrt{1^{2}+(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}.

Passo 4

Montar a integral do comprimento.
Pelo passo anterior,
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}\,dt.
Esta é a expressão exata do comprimento. Observação técnica: o integrando é um radical de um polinômio quartico e, em geral, integrais do tipo \int\sqrt{at^{4}+bt^{2}+c}\,dt não têm primitiva elementar (ou seja, não se expressam com funções elementares simples); normalmente exigem funções elípticas. Por isso, para obter um valor numérico usamos um método de aproximação (regra de Simpson, por exemplo).

Passo 5

Escolher e explicar o método numérico (Regra de Simpson).
A Regra de Simpson aproxima a integral por polinômios quadráticos em subintervalos pares. Para n subintervalos igualmente espaçados (com n par) e passo h=(b-a)/n,
\int_{a}^{b}f(t)\,dt \approx \frac{h}{3}\Big(f(t_{0})+4f(t_{1})+2f(t_{2})+4f(t_{3})+\cdots+4f(t_{n-1})+f(t_{n})\Big).
Isso é prático para calcular à mão com n razoável (por ex. n=8) e dá boa precisão.

Passo 6

Avaliar o integrando em pontos necessários para Simpson com n=8 ( h=0{,}125).
Calcula-se f(t)=\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}} nos pontos t_{k}=k\cdot0{,}125, k=0,\dots,8.
Valores (aproximações com 5 casas significativas onde necessário):
\begin{aligned} f(0)&= \sqrt{1}=1{,}000000,\\\ f(0{,}125)&\approx \sqrt{1+4(0{,}015625)+9(0{,}000244140625)}\approx1{,}03184,\\\ f(0{,}25)&\approx \sqrt{1+4(0{,}0625)+9(0{,}00390625)}=\sqrt{1{,}28515625}\approx1{,}13357,\\\ f(0{,}375)&\approx1{,}31932,\\\ f(0{,}5)&=\sqrt{2{,}5625}\approx1{,}60078,\\\ f(0{,}625)&\approx1{,}98390,\\\ f(0{,}75)&\approx2{,}46937,\\\ f(0{,}875)&\approx3{,}05610,\\\ f(1)&=\sqrt{14}\approx3{,}741657. \end{aligned}
(Os valores intermédios foram obtidos calculando t^{2}, t^{4}, formando 1+4t^{2}+9t^{4} e extraindo raíz; numa prova pode-se arredondar depois de umas 4 ou 5 casas.)

Passo 7

Aplicar a Regra de Simpson com esses valores.
Com h=0{,}125 temos h/3\approx0{,}0416667. Usando a fórmula de Simpson:
\begin{aligned} L &\approx \frac{h}{3}\Big(f(0)+4[f(0{,}125)+f(0{,}375)+f(0{,}625)+f(0{,}875)]\\\ &\qquad\qquad +2[f(0{,}25)+f(0{,}5)+f(0{,}75)]+f(1)\Big). \end{aligned}
Substituindo os números:
\begin{aligned} S &:= f(0)+4(f(0{,}125)+f(0{,}375)+f(0{,}625)+f(0{,}875))\\\ &\quad +2(f(0{,}25)+f(0{,}5)+f(0{,}75))+f(1)\\\ &\approx 1{,}00000 +4(1{,}03184+1{,}31932+1{,}98390+3{,}05610)\\\ &\quad +2(1{,}13357+1{,}60078+2{,}46937)+3{,}741657\\\ &\approx 44{,}713733. \end{aligned}
Portanto
L\approx \frac{0{,}125}{3}\cdot 44{,}713733 \approx 0{,}0416667\cdot44{,}713733 \approx 1{,}8639055.

Passo 8

Interpretação e arredondamento final.
A aproximação com Simpson usando n=8 L\approx1{,}8639. Aumentar n daria valor muito próximo dessa cifra; a convergência já está boa para uso em prova. Podemos também apresentar a resposta exata na forma de integral, se o enunciado aceitar expressão integral como “determinar”.

Resposta

L=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}\,dt\approx1{,}8639

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