Determine o comprimento das curvas dadas abaixo. \alpha(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), \quad 0 \leq t \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada \alpha(t)=\left(t,\;t^{2},\;t^{3}\right) para 0\le t\le1.
Informações dadas:
A curva está em \mathbb{R}^{3} e é parametrizada por t no intervalo [0,1].
Quer-se o comprimento (arc length) da porção da curva correspondente a esse intervalo de parâmetros.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (e por que ela é válida).
Para uma curva suave \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^{n}, \alpha(t)=(x_{1}(t),\dots,x_{n}(t)), o comprimento da curva é
Aqui \alpha'(t) é o vetor velocidade \big(x_{1}'(t),\dots,x_{n}'(t)\big) e \left\lVert \cdot\right\rVert é a norma euclidiana. Intuitivamente, dividimos o intervalo em pedaços pequenos, aproximamos cada trecho por um segmento cuja comprimento é \|\alpha'(t)\|\,\Delta t e somamos, que no limite dá a integral acima.
Passo 3
Calcular a derivada \alpha'(t) componente a componente e a norma.
Derivando componente a componente:
Montar a integral do comprimento.
Pelo passo anterior,
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}\,dt.
Esta é a expressão exata do comprimento. Observação técnica: o integrando é um radical de um polinômio quartico e, em geral, integrais do tipo \int\sqrt{at^{4}+bt^{2}+c}\,dt não têm primitiva elementar (ou seja, não se expressam com funções elementares simples); normalmente exigem funções elípticas. Por isso, para obter um valor numérico usamos um método de aproximação (regra de Simpson, por exemplo).
Passo 5
Escolher e explicar o método numérico (Regra de Simpson).
A Regra de Simpson aproxima a integral por polinômios quadráticos em subintervalos pares. Para n subintervalos igualmente espaçados (com n par) e passo h=(b-a)/n,
Isso é prático para calcular à mão com n razoável (por ex. n=8) e dá boa precisão.
Passo 6
Avaliar o integrando em pontos necessários para Simpson com n=8 (h=0{,}125).
Calcula-se f(t)=\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}} nos pontos t_{k}=k\cdot0{,}125, k=0,\dots,8.
Valores (aproximações com 5 casas significativas onde necessário):
(Os valores intermédios foram obtidos calculando t^{2}, t^{4}, formando 1+4t^{2}+9t^{4} e extraindo raíz; numa prova pode-se arredondar depois de umas 4 ou 5 casas.)
Passo 7
Aplicar a Regra de Simpson com esses valores.
Com h=0{,}125 temos h/3\approx0{,}0416667. Usando a fórmula de Simpson:
\begin{aligned} L &\approx \frac{h}{3}\Big(f(0)+4[f(0{,}125)+f(0{,}375)+f(0{,}625)+f(0{,}875)]\\\ &\qquad\qquad +2[f(0{,}25)+f(0{,}5)+f(0{,}75)]+f(1)\Big). \end{aligned}
Interpretação e arredondamento final.
A aproximação com Simpson usando n=8 dá L\approx1{,}8639. Aumentar n daria valor muito próximo dessa cifra; a convergência já está boa para uso em prova. Podemos também apresentar a resposta exata na forma de integral, se o enunciado aceitar expressão integral como “determinar”.