O enunciado não dá um intervalo específico para t. Logo o objetivo será obter a fórmula do comprimento entre dois parâmetros quaisquer t_0 e t_1 com t_0<t_1 e com \cos t>0 para todo t do intervalo (t_0,t_1).
Passo 2
Lembrete prático (fórmula que vamos usar). Para uma curva parametrizada por \alpha(t) com derivada contínua, o comprimento da curva entre t=t_0 e t=t_1 é
L=\int_{t_0}^{t_1}\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt,
onde \big\|\alpha'(t)\big\| é a norma (comprimento) do vetor derivada \alpha'(t). Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular a derivada componente a componente:
A derivada de \cos t é -\sin t.
A derivada de \sin t é \cos t.
Para \ln(\cos t) usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln(u) é u'/u. Aqui u=\cos t e u'=-\sin t. Logo a derivada é -\sin t/\cos t = -\tan t.
Portanto
\alpha'(t)=(-\sin t,\\ \cos t,\\\ -\tan t).
Passo 4
Calcular o quadrado da norma (soma dos quadrados das componentes) e simplificar:
\big\|\alpha'(t)\big\|^2 = (-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + (-\tan t)^2 = \sin^2 t + \cos^2 t + \tan^2 t.
Usando a identidade trigonométrica \sin^2 t+\cos^2 t=1 e a identidade \tan^2 t+1=\operatorname{sec}^2 t, obtemos
\big\|\alpha'(t)\big\|^2 = 1 + \tan^2 t = \operatorname{sec}^2 t.
Como em nosso domínio temos \cos t>0, uma observação útil é que
\operatorname{sec} t + \tan t = \frac{1+\sin t}{\cos t},
e para t\in\left(-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\right) tem-se 1+\sin t>0 e \cos t>0, então \operatorname{sec} t+\tan t>0. Assim os módulos podem ser dispensados e ficamos com
Observações finais importantes para a prova (dicas):
Se escolher t_0=0, tem \operatorname{sec} 0=1 e \tan 0=0, então
L=\ln\!\big(\operatorname{sec} t_1+\tan t_1\big)
para o comprimento entre 0 e t_1.
Se tentar tomar t_0\to -\tfrac{\pi}{2}^+ ou t_1\to \tfrac{\pi}{2}^-, a quantidade \operatorname{sec} t+\tan t tende a 0 ou a +\infty de modo que o comprimento até o bordo diverge; por exemplo o comprimento na inteira faixa \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) é infinito.
Resposta
L=\ln\!\big(\operatorname{sec} t_1+\tan t_1\big)-\ln\!\big(\operatorname{sec} t_0+\tan t_0\big), \quad\text{para }t_0<t_1\text{ com }\cos t>0\text{ em }[t_0,t_1].