Determine o comprimento das curvas dadas abaixo.
\alpha(t)=(\cos t, \sin t, \ln (\cos t)).

Passo 1

O enunciado fornece a curva parametrizada
\alpha(t) = (\cos t,\\ \sin t,\\ \ln(\cos t)).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Cada componente da curva está em função de t.
  • A função \ln(\cos t) exige \cos t>0. Portanto só podemos considerar intervalos de t contidos em intervalos abertos do tipo
\left(-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\\ \tfrac{\pi}{2}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • O enunciado não dá um intervalo específico para t. Logo o objetivo será obter a fórmula do comprimento entre dois parâmetros quaisquer t_0 e t_1 com t_0<t_1 e com \cos t>0 para todo t do intervalo (t_0,t_1).

Passo 2

Lembrete prático (fórmula que vamos usar). Para uma curva parametrizada por \alpha(t) com derivada contínua, o comprimento da curva entre t=t_0 e t=t_1 é
L=\int_{t_0}^{t_1}\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt,
onde \big\|\alpha'(t)\big\| é a norma (comprimento) do vetor derivada \alpha'(t). Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular a derivada componente a componente:
  • A derivada de \cos t é -\sin t.
  • A derivada de \sin t é \cos t.
  • Para \ln(\cos t) usamos a regra da cadeia: a derivada de \ln(u) é u'/u. Aqui u=\cos t e u'=-\sin t. Logo a derivada é -\sin t/\cos t = -\tan t.
Portanto
\alpha'(t)=(-\sin t,\\ \cos t,\\\ -\tan t).

Passo 4

Calcular o quadrado da norma (soma dos quadrados das componentes) e simplificar:
\big\|\alpha'(t)\big\|^2 = (-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + (-\tan t)^2 = \sin^2 t + \cos^2 t + \tan^2 t.
Usando a identidade trigonométrica \sin^2 t+\cos^2 t=1 e a identidade \tan^2 t+1=\operatorname{sec}^2 t, obtemos
\big\|\alpha'(t)\big\|^2 = 1 + \tan^2 t = \operatorname{sec}^2 t.

Passo 5

Da igualdade anterior vem
\big\|\alpha'(t)\big\| = \sqrt{\operatorname{sec}^2 t} = |\operatorname{sec} t|.
Como estamos considerando intervalos onde \cos t>0, tem-se \operatorname{sec} t>0 nesses intervalos, portanto
\big\|\alpha'(t)\big\| = \operatorname{sec} t \qquad\text{(quando \(\cos t>0\)).}

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do comprimento:
L=\int_{t_0}^{t_1}\operatorname{sec} t\,dt,
com t_0<t_1 e \cos t>0 em [t_0,t_1].

Passo 7

Calcular a primitiva de \operatorname{sec} t. Uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador por \operatorname{sec} t+\tan t:
\int \operatorname{sec} t\,dt = \int \frac{\operatorname{sec} t(\operatorname{sec} t+\tan t)}{\operatorname{sec} t+\tan t}\,dt = \int \frac{\operatorname{sec}^2 t + \operatorname{sec} t\tan t}{\operatorname{sec} t+\tan t}\,dt.
Faça a substituição u=\operatorname{sec} t+\tan t. Então
du = (\operatorname{sec} t\tan t + \operatorname{sec}^2 t)\,dt,
logo a integral passa a ser \int du/u = \ln|u|+C. Voltando às variáveis originais,
\int \operatorname{sec} t\,dt = \ln\big|\operatorname{sec} t+\tan t\big| + C.

Passo 8

Aplicando a primitiva entre t_0 e t_1 obtemos o comprimento desejado:
L=\left.\ln\big|\operatorname{sec} t+\tan t\big|\right|_{t_0}^{t_1} = \ln\!\big|\operatorname{sec} t_1+\tan t_1\big| - \ln\!\big|\operatorname{sec} t_0+\tan t_0\big|.
Como em nosso domínio temos \cos t>0, uma observação útil é que
\operatorname{sec} t + \tan t = \frac{1+\sin t}{\cos t},
e para t\in\left(-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\right) tem-se 1+\sin t>0 e \cos t>0, então \operatorname{sec} t+\tan t>0. Assim os módulos podem ser dispensados e ficamos com
L=\ln\!\big(\operatorname{sec} t_1+\tan t_1\big)-\ln\!\big(\operatorname{sec} t_0+\tan t_0\big).

Passo 9

Observações finais importantes para a prova (dicas):
  • Se escolher t_0=0, tem \operatorname{sec} 0=1 e \tan 0=0, então
L=\ln\!\big(\operatorname{sec} t_1+\tan t_1\big)
para o comprimento entre 0 e t_1.
  • Se tentar tomar t_0\to -\tfrac{\pi}{2}^+ ou t_1\to \tfrac{\pi}{2}^-, a quantidade \operatorname{sec} t+\tan t tende a 0 ou a +\infty de modo que o comprimento até o bordo diverge; por exemplo o comprimento na inteira faixa \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) é infinito.

Resposta

L=\ln\!\big(\operatorname{sec} t_1+\tan t_1\big)-\ln\!\big(\operatorname{sec} t_0+\tan t_0\big), \quad\text{para }t_0<t_1\text{ com }\cos t>0\text{ em }[t_0,t_1].

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