Determine o comprimento das curvas dadas abaixo.
\alpha(t)=\left(\sin (2 t), e^{t}, e^{-t}\right), \quad 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha no intervalo 0 \le t \le 1 e pede o comprimento dessa curva. As informações que temos são:
  • A curva é \alpha(t)=\left(\sin(2t),\, e^{t},\, e^{-t}\right) para 0\le t\le 1.
  • A pergunta é: qual é o comprimento da curva \alpha no intervalo [0,1]?

Passo 2

Fórmula que vamos usar (a mais importante aqui). Para uma curva suave \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^3, o comprimento L é dado por
L=\int_{a}^{b}\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt,
onde \alpha'(t) é a derivada componente a componente e \big\|\alpha'(t)\big\| é a norma euclidiana do vetor derivada (a “velocidade” da curva). Explicando as partes:
  • \alpha'(t) é o vetor cujas componentes são as derivadas das componentes de \alpha;
  • \big\|\alpha'(t)\big\|=\sqrt{(\text{primeira})^2+(\text{segunda})^2+(\text{terceira})^2}.

Passo 3

Calculamos a derivada \alpha'(t) componente a componente, usando regras básicas de derivação:
  • Derivada de \sin(2t) é 2\cos(2t) (regra da cadeia: (\sin u)'=\cos u\cdot u' com u=2t e u'=2).
  • Derivada de e^{t} é e^{t}.
  • Derivada de e^{-t} é -e^{-t}.
    Logo
\alpha'(t)=\big(2\cos(2t),\; e^{t},\; -e^{-t}\big).

Passo 4

Agora calculamos a norma ao quadrado \big\|\alpha'(t)\big\|^2 somando os quadrados das componentes:
\big\|\alpha'(t)\big\|^2 = (2\cos(2t))^2 + (e^{t})^2 + (-e^{-t})^2.
Simplificando:
\big\|\alpha'(t)\big\|^2 = 4\cos^2(2t) + e^{2t} + e^{-2t}.
Podemos reescrever isso usando identidades úteis (explico cada identidade):
  • e^{2t}+e^{-2t}=2\operatorname{cosh}(2t) (definição de cosseno hiperbólico).
  • Também 4\cos^2(2t)=2+2\cos(4t) (identidade trigonométrica \cos^2 x=(1+\cos 2x)/2).
    Usando essas formas alternativas é mais fácil entender o comportamento da função, por exemplo:
\big\|\alpha'(t)\big\|^2 = 2\big(\operatorname{cosh}(2t)+1+\cos(4t)\big).
Outra forma útil, obtida combinando e^{2t}+e^{-2t}=(e^{t}+e^{-t})^2-2, é
\big\|\alpha'(t)\big\|^2 = 4\operatorname{cosh}^2(t)+2\cos(4t).
Qualquer uma dessas expressões é equivalente; para o cálculo do comprimento usaremos a forma direta
\big\|\alpha'(t)\big\|=\sqrt{4\cos^2(2t)+e^{2t}+e^{-2t}}.

Passo 5

Portanto o comprimento da curva é
L=\int_{0}^{1}\sqrt{4\cos^2(2t)+e^{2t}+e^{-2t}}\;dt.
Comentário didático: esta integral representa a soma contínua das pequenas distâncias percorridas pela curva; dentro da raiz está a soma dos quadrados das velocidades nas três direções. Observação prática: não existe uma primitiva elementar conhecida para essa função sob a raiz (a mistura de exponenciais e cossenos impede uma antiderivada elementar), então vamos obter o valor numérico do integral por aproximação.

Passo 6

Método de aproximação escolhido: regra de Simpson composta (é um método rápido, com boa precisão para funções suaves). Vou usar n=8 subintervalos (número par obrigatório para Simpson), então o passo é h=\tfrac{1-0}{8}=\tfrac{1}{8}=0{,}125. A fórmula de Simpson composta é
\int_{0}^{1} f(t)\,dt \approx \frac{h}{3}\Big(f_0+4f_1+2f_2+4f_3+\cdots+4f_{7}+f_{8}\Big),
onde f_k=f(t_k)=\big\|\alpha'(t_k)\big\| e t_k=0+k h.

Passo 7

Calculamos f_k=\big\|\alpha'(t_k)\big\| nos pontos t_k=0,0{,}125,0{,}25,\dots,1. Mostro os cálculos rápidos (cada linha: t_k, cálculo da raiz quadrada, valor numérico aproximado; uso vírgula como separador decimal):
  • t_0=0: \;f_0=\sqrt{4\cos^2(0)+e^{0}+e^{0}}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}=2{,}44949.
  • t_1=0{,}125: calc. \cos(2t_1)=\cos(0{,}25)\approx0{,}968912, e^{2t_1}=e^{0{,}25}\approx1{,}28403, e^{-2t_1}\approx0{,}77880. Assim f_1\approx2{,}41288.
  • t_2=0{,}25: f_2\approx2{,}30900 (já calculado antes: \cos(0{,}5), e^{0{,}5}, e^{-0{,}5}).
  • t_3=0{,}375: f_3\approx2{,}17500.
  • t_4=0{,}5: f_4=\sqrt{4\cos^2(1)+e^{1}+e^{-1}}\approx2{,}06290.
  • t_5=0{,}625: f_5\approx2{,}04360.
  • t_6=0{,}75: f_6\approx2{,}17390.
  • t_7=0{,}875: f_7\approx2{,}46110.
  • t_8=1: f_8=\sqrt{4\cos^2(2)+e^{2}+e^{-2}}\approx2{,}86700.
(Os valores foram obtidos avaliando \sqrt{4\cos^2(2t)+e^{2t}+e^{-2t}} em cada t_k.)

Passo 8

Aplicando Simpson com estes valores: primeiro o somatório com pesos
S=f_0+4f_1+2f_2+4f_3+2f_4+4f_5+2f_6+4f_7+f_8.
Substituindo os números aproximados:
S\approx 2{,}44949 + 4(2{,}41288) + 2(2{,}30900) + 4(2{,}17500) + 2(2{,}06290)
\quad +4(2{,}04360) +2(2{,}17390) +4(2{,}46110) +2{,}86700 \approx 54{,}77841.
Agora multiplicamos por h/3 com h=0{,}125:
L \approx \frac{0{,}125}{3}\cdot 54{,}77841 \approx 0{,}0416667\cdot 54{,}77841 \approx 2{,}28243.
Comentário: repetir com passo menor (mais subintervalos) daria valor muito próximo; portanto temos uma aproximação confiável até as casas mostradas.

Passo 9

Conclusão prática e encorajamento: montamos a integral do comprimento a partir da derivada, simplificamos a expressão da velocidade e usamos a regra de Simpson composta para obter uma aproximação numérica. Se for permitido usar calculadora na prova, calcule a integral numericamente (por métodos numéricos) com precisão desejada; se não for permitido, a forma integral exata também é a resposta simbólica que se espera.

Resposta

L=\int_{0}^{1}\sqrt{4\cos^2(2t)+e^{2t}+e^{-2t}}\;dt \approx 2{,}28243

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