Determine o comprimento das curvas dadas abaixo. \alpha(t)=\left(\sin (2 t), e^{t}, e^{-t}\right), \quad 0 \leq t \leq 1.
Passo 1
O enunciado dá a curva \alpha no intervalo 0 \le t \le 1 e pede o comprimento dessa curva. As informações que temos são:
A curva é \alpha(t)=\left(\sin(2t),\, e^{t},\, e^{-t}\right) para 0\le t\le 1.
A pergunta é: qual é o comprimento da curva \alpha no intervalo [0,1]?
Passo 2
Fórmula que vamos usar (a mais importante aqui). Para uma curva suave \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^3, o comprimento L é dado por
L=\int_{a}^{b}\big\|\alpha'(t)\big\|\,dt,
onde \alpha'(t) é a derivada componente a componente e \big\|\alpha'(t)\big\| é a norma euclidiana do vetor derivada (a “velocidade” da curva). Explicando as partes:
\alpha'(t) é o vetor cujas componentes são as derivadas das componentes de \alpha;
Podemos reescrever isso usando identidades úteis (explico cada identidade):
e^{2t}+e^{-2t}=2\operatorname{cosh}(2t) (definição de cosseno hiperbólico).
Também 4\cos^2(2t)=2+2\cos(4t) (identidade trigonométrica \cos^2 x=(1+\cos 2x)/2).
Usando essas formas alternativas é mais fácil entender o comportamento da função, por exemplo:
Comentário didático: esta integral representa a soma contínua das pequenas distâncias percorridas pela curva; dentro da raiz está a soma dos quadrados das velocidades nas três direções. Observação prática: não existe uma primitiva elementar conhecida para essa função sob a raiz (a mistura de exponenciais e cossenos impede uma antiderivada elementar), então vamos obter o valor numérico do integral por aproximação.
Passo 6
Método de aproximação escolhido: regra de Simpson composta (é um método rápido, com boa precisão para funções suaves). Vou usar n=8 subintervalos (número par obrigatório para Simpson), então o passo é h=\tfrac{1-0}{8}=\tfrac{1}{8}=0{,}125. A fórmula de Simpson composta é
onde f_k=f(t_k)=\big\|\alpha'(t_k)\big\| e t_k=0+k h.
Passo 7
Calculamos f_k=\big\|\alpha'(t_k)\big\| nos pontos t_k=0,0{,}125,0{,}25,\dots,1. Mostro os cálculos rápidos (cada linha: t_k, cálculo da raiz quadrada, valor numérico aproximado; uso vírgula como separador decimal):
L \approx \frac{0{,}125}{3}\cdot 54{,}77841 \approx 0{,}0416667\cdot 54{,}77841 \approx 2{,}28243.
Comentário: repetir com passo menor (mais subintervalos) daria valor muito próximo; portanto temos uma aproximação confiável até as casas mostradas.
Passo 9
Conclusão prática e encorajamento: montamos a integral do comprimento a partir da derivada, simplificamos a expressão da velocidade e usamos a regra de Simpson composta para obter uma aproximação numérica. Se for permitido usar calculadora na prova, calcule a integral numericamente (por métodos numéricos) com precisão desejada; se não for permitido, a forma integral exata também é a resposta simbólica que se espera.