Determine o comprimento e a impedância de um transformador de quarto de onda necessários ao casamento de uma carga de 100 \Omega a uma linha de transmissão com impedância característica Z0 =50 \Omega. O dielétrico da linha é o ar e a frequência de operação é f=104 \mathrm{MHz}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o comprimento e a impedância característica de um transformador de quarto de onda necessário para casar uma carga de 100\\ \Omega a uma linha de transmissão cuja impedância característica é Z_0=50\\ \Omega. Dados fornecidos:
  • Carga: Z_L=100\\ \Omega.
  • Linha de referência: Z_0=50\\ \Omega.
  • Dielétrico da linha: ar (portanto velocidade de propagação igual à velocidade da luz no vácuo, salvo aproximação).
  • Frequência de operação: f=104\\ \mathrm{MHz} = 1,04\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}.
    As duas quantidades a calcular são:
  1. o valor de Z_t (a impedância característica do trecho de quarto de onda), e
  2. o comprimento físico l desse trecho na frequência dada.

Passo 2

Vamos relembrar a fórmula geral do impedância vista na entrada de uma linha de transmissão lossless de comprimento l e impedância característica Z_t, ligada a uma carga Z_L:
Z_{\text{in}} = Z_t \,\frac{Z_L + j\,Z_t\,\tan(\beta l)}{Z_t + j\,Z_L\,\tan(\beta l)}.
Aqui:
  • \beta é a constante de propagação da linha, dada por \beta = \dfrac{2\pi}{\lambda}.
  • \lambda é o comprimento de onda na linha.
  • j é a unidade imaginária.
    Expliquei essa fórmula porque ela é a ferramenta que nos mostra como um trecho de linha transforma a impedância da carga vista da outra extremidade.

Passo 3

Agora vamos especializar para o caso de um transformador de quarto de onda, ou seja, quando o comprimento do trecho é l=\lambda/4. Primeiro calculemos o argumento da tangente:
\beta l = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}.
E sabemos que \tan\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) tende a infinito (formalmente é singular). Tomando o limite adequado na expressão de Z_{\text{in}}, domina o termo com \tan(\beta l) tanto no numerador quanto no denominador, e obtemos a forma simples conhecida como inversão de impedância:
Z_{\text{in}} = \frac{Z_t^{2}}{Z_L}\qquad\text{quando } l=\frac{\lambda}{4}.
Explicação rápida do porquê: quando \tan(\beta l)\to\infty os termos com \tan são os maiores; o fator j\tan cancela entre numerador e denominador, sobrando a razão Z_t\cdot(Z_t/Z_L)=Z_t^2/Z_L.

Passo 4

Para casar a carga à linha de referência queremos que a impedância vista na entrada do transformador seja igual a Z_0. Ou seja, exigimos
Z_0 = Z_{\text{in}} = \frac{Z_t^{2}}{Z_L}.
Isolando Z_t obtemos a fórmula clássica do transformador de quarto de onda:
Z_t = \sqrt{Z_0\,Z_L}.
Vou aplicar essa fórmula com os valores do enunciado.

Passo 5

Substituindo Z_0=50\\ \Omega e Z_L=100\\ \Omega na fórmula:
Z_t = \sqrt{50\cdot 100} = \sqrt{5000}.
Agora avaliamos numericamente \sqrt{5000}. Calculando:
\sqrt{5000} \approx 70,7107\\ \Omega.
Arredondando de forma prática para a fabricação/medida, podemos usar
Z_t \approx 70,71\\ \Omega.

Passo 6

Agora calculamos o comprimento físico do quarto de onda na frequência dada. Primeiro a expressão da \lambda:
\lambda = \frac{c}{f},
onde c é a velocidade da luz no ar, que aproximamos por c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Substituindo f=1,04\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}:
\lambda = \frac{3\times10^{8}}{1,04\times10^{8}} \\ \mathrm{m} \approx 2,884615\\ \mathrm{m}.
Note que usei vírgula decimal conforme o padrão.

Passo 7

O comprimento do transformador é um quarto de \lambda:
l = \frac{\lambda}{4} \approx \frac{2,884615\\ \mathrm{m}}{4} \approx 0,7211538\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática:
l \approx 0,7212\\ \mathrm{m}.
Em termos elétricos, esse comprimento corresponde a 90^\circ (pois \beta l=\pi/2).

Passo 8

Resumo prático e observações (tipo professor-amigo):
  • A impedância característica do trecho de quarto-de-onda deve ser Z_t\approx70,71\\ \Omega. É essa a impedância que fará a inversão e resultará numa entrada de 50\\ \Omega.
  • O comprimento físico do trecho a operar em f=104\\ \mathrm{MHz} no ar é l\approx0,7212\\ \mathrm{m}.
  • Se a linha do transformador não for em ar (por exemplo, dielétrico diferente), a velocidade de propagação muda: v_p=c/\sqrt{\varepsilon_r}, e você deve usar \lambda = v_p/f antes de dividir por 4. Aqui usei ar, então v_p\approx c.
  • Na prática, quando for construir, arredonde a impedância para um valor comercial próximo e ajuste finamente o comprimento por medidas (comprimento elétrico real pode variar por efeitos de terminação e frentes de onda).

Resposta

Comprimento do transformador: l \approx 0,7212\\ \mathrm{m}
Impedância característica do transformador: Z_t \approx 70,71\\ \Omega

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