Determine o comprimento e a impedância de um transformador de quarto de onda necessários ao casamento de uma carga de
a uma linha de transmissão com impedância característica Z0
. O dielétrico da linha é o ar e a frequência de operação é
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: o comprimento e a impedância característica de um transformador de quarto de onda necessário para casar uma carga de
a uma linha de transmissão cuja impedância característica é
. Dados fornecidos:
- Carga:
. - Linha de referência:
. - Dielétrico da linha: ar (portanto velocidade de propagação igual à velocidade da luz no vácuo, salvo aproximação).
- Frequência de operação:
.
As duas quantidades a calcular são:
- o valor de
(a impedância característica do trecho de quarto de onda), e - o comprimento físico
desse trecho na frequência dada.
Passo 2
Vamos relembrar a fórmula geral do impedância vista na entrada de uma linha de transmissão lossless de comprimento
e impedância característica
, ligada a uma carga
:
Aqui:
-
é a constante de propagação da linha, dada por . -
é o comprimento de onda na linha. -
é a unidade imaginária.
Expliquei essa fórmula porque ela é a ferramenta que nos mostra como um trecho de linha transforma a impedância da carga vista da outra extremidade.
Passo 3
Agora vamos especializar para o caso de um transformador de quarto de onda, ou seja, quando o comprimento do trecho é
. Primeiro calculemos o argumento da tangente:
E sabemos que
tende a infinito (formalmente é singular). Tomando o limite adequado na expressão de
, domina o termo com
tanto no numerador quanto no denominador, e obtemos a forma simples conhecida como inversão de impedância:
Explicação rápida do porquê: quando
os termos com
são os maiores; o fator
cancela entre numerador e denominador, sobrando a razão
.
Passo 4
Para casar a carga à linha de referência queremos que a impedância vista na entrada do transformador seja igual a
. Ou seja, exigimos
Isolando
obtemos a fórmula clássica do transformador de quarto de onda:
Vou aplicar essa fórmula com os valores do enunciado.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula:
Agora avaliamos numericamente
. Calculando:
Arredondando de forma prática para a fabricação/medida, podemos usar
Passo 6
Agora calculamos o comprimento físico do quarto de onda na frequência dada. Primeiro a expressão da
:
onde
é a velocidade da luz no ar, que aproximamos por
. Substituindo
:
Note que usei vírgula decimal conforme o padrão.
Passo 7
O comprimento do transformador é um quarto de
:
Arredondando de forma prática:
Em termos elétricos, esse comprimento corresponde a
(pois
).
Passo 8
Resumo prático e observações (tipo professor-amigo):
- A impedância característica do trecho de quarto-de-onda deve ser
. É essa a impedância que fará a inversão e resultará numa entrada de . - O comprimento físico do trecho a operar em
no ar é . - Se a linha do transformador não for em ar (por exemplo, dielétrico diferente), a velocidade de propagação muda:
, e você deve usar antes de dividir por 4. Aqui usei ar, então . - Na prática, quando for construir, arredonde a impedância para um valor comercial próximo e ajuste finamente o comprimento por medidas (comprimento elétrico real pode variar por efeitos de terminação e frentes de onda).
Resposta
Comprimento do transformador:
Impedância característica do transformador:
Impedância característica do transformador: