Uma LT com impedância característica \mathrm{Z} 0=50 \Omega é terminada por uma carga \mathrm{ZL}=(120-\mathrm{j} 75) \Omega. O comprimento de onda na linha é de 2 m . Determine: (a) o coeficiente de onda estacionária e os valores de impedância máximo e mínimo; (b) a distância entre a carga e o 1^{\circ} mínimo de tensão.

Passo 1

O enunciado dá uma linha de transmissão com impedância característica \mathrm{Z}_0=50\\ \Omega terminada por uma carga \mathrm{Z}_\mathrm{L}=(120-\mathrm{j}75)\\ \Omega. O comprimento de onda na linha é \lambda=2\\ \mathrm{m}. O que se pede:
  1. (a) o coeficiente de onda estacionária (interpreto aqui como módulo do coeficiente de reflexão |\Gamma| e a razão de onda estacionária VSWR) e os valores de impedância máximo e mínimo ao longo da linha;
  2. (b) a distância entre a carga e o primeiro mínimo de tensão (distância do ponto z=0 na carga até o primeiro mínimo em direção ao gerador).
Informações relevantes dadas:
\mathrm{Z}_0=50\\ \Omega, \mathrm{Z}_\mathrm{L}=120-\mathrm{j}75\\ \Omega, \lambda=2\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o coeficiente de reflexão na carga \Gamma. A fórmula é
\Gamma=\frac{\mathrm{Z}_\mathrm{L}-\mathrm{Z}_0}{\mathrm{Z}_\mathrm{L}+\mathrm{Z}_0}.
Substituindo os valores:
\Gamma=\frac{(120-\mathrm{j}75)-50}{(120-\mathrm{j}75)+50}=\frac{70-\mathrm{j}75}{170-\mathrm{j}75}.
Para dividir números complexos, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
\Gamma=\frac{(70-\mathrm{j}75)(170+\mathrm{j}75)}{(170-\mathrm{j}75)(170+\mathrm{j}75)}.

Passo 3

Agora calculamos numerador e denominador separadamente (faça sempre isso passo a passo na prova):
Numerador:
(70-\mathrm{j}75)(170+\mathrm{j}75)=17525-\mathrm{j}7500,
denominador:
170^2+75^2=34525.
Portanto
\Gamma=\frac{17525}{34525}-\mathrm{j}\,\frac{7500}{34525}\approx 0,508-\mathrm{j}\,0,217.

Passo 4

Calculamos o módulo e a fase de \Gamma. O módulo é
|\Gamma|=\sqrt{(\Re\{\Gamma\})^2+(\Im\{\Gamma\})^2}\approx\sqrt{0,508^2+(-0,217)^2}\approx 0,552.
A fase (ângulo) é
\arg(\Gamma)=\arctan\!\left(\frac{\Im\{\Gamma\}}{\Re\{\Gamma\}}\right)\approx\arctan\!\left(\frac{-0,217}{0,508}\right)\approx -0,405\\ \text{rad}\approx -23{,}2^\circ.
(Use a função atan2 na calculadora para obter o sinal correto do ângulo.)

Passo 5

A razão de onda estacionária (VSWR) está relacionada a |\Gamma| pela fórmula padrão:
\mathrm{VSWR}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}.
Substituindo |\Gamma|\approx0,552:
\mathrm{VSWR}\approx\frac{1+0,552}{1-0,552}=\frac{1,552}{0,448}\approx 3,46.
Explanação curta: \mathrm{VSWR} mede a amplitude relativa entre máximos e mínimos de tensão; para |\Gamma|=0 tem \mathrm{VSWR}=1 (caso casado) e para |\Gamma|=1 tende ao infinito (aberto ou curto).

Passo 6

As impedâncias máxima e mínima ao longo de uma linha lossless são dadas por (fórmulas úteis para prova):
Z_{\max}=\mathrm{Z}_0\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}=\mathrm{Z}_0\cdot\mathrm{VSWR},
Z_{\min}=\mathrm{Z}_0\frac{1-|\Gamma|}{1+|\Gamma|}=\frac{\mathrm{Z}_0}{\mathrm{VSWR}}.
Substituindo \mathrm{Z}_0=50\\ \Omega e \mathrm{VSWR}\approx3,46:
Z_{\max}\approx50\cdot3,46\approx173\\ \Omega,
Z_{\min}\approx\frac{50}{3,46}\approx14,4\\ \Omega.
Interpretação prática: ao longo da linha a impedância varia entre aproximadamente 14{,}4\\ \Omega e 173\\ \Omega.

Passo 7

Agora determinamos a posição do primeiro mínimo de tensão a partir da carga. Escrevendo a tensão ao longo da linha (medida a partir da carga, z positivo em direção ao gerador):
V(z)=V^+\,e^{-\,\mathrm{j}\beta z}\bigl(1+\Gamma\,e^{\mathrm{j}2\beta z}\bigr).
O módulo |V(z)| tem mínimos quando o termo entre parênteses tem fase tal que os vetores se oponham, isto é quando
\arg(\Gamma)+2\beta z=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Para o primeiro mínimo (menor z>0) tomamos n=0, portanto
2\beta z_1=\pi-\arg(\Gamma).

Passo 8

Sabendo que \beta=2\pi/\lambda e \lambda=2\\ \mathrm{m}, temos \beta=\pi\\ \mathrm{rad/m}. Usando \arg(\Gamma)\approx -0,405\\ \mathrm{rad} obtemos
z_1=\frac{\pi-\arg(\Gamma)}{2\beta}=\frac{\pi-(-0,405)}{2\pi}=\frac{\pi+0,405}{2\pi}\\ \lambda.
Em metros:
z_1=\frac{\pi+0,405}{2\pi}\cdot 2\\ \mathrm{m}=\frac{\pi+0,405}{\pi}\\ \mathrm{m}\cdot\frac{1}{2} =0,564\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).
Também em fração de comprimento de onda:
z_1\approx0,282\,\lambda.

Resposta

(a) |\Gamma|\approx 0,552; \mathrm{VSWR}\approx 3,46; Z_{\max}\approx 173\\ \Omega; Z_{\min}\approx 14,4\\ \Omega
(b) Distância até o 1.º mínimo de tensão z_1\approx 0,564\\ \mathrm{m}\approx 0,282\,\lambda

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