Determine o comprimento (em metros) de um trocador de calor de tubos duplos ou concêntricos, usando o método da média logarítmica de temperatura, com tubo interno de diâmetro externo de 25 mm , que será utilizado para resfriar 15.000 \mathrm{Kg} / \mathrm{h} de uma solução de 95 \% de álcool etílico de 65^{\circ} \mathrm{C} para 40^{\circ} \mathrm{C}, usando 30.000 \mathrm{Kg} / \mathrm{h} de água disponível, a 15^{\circ} \mathrm{C}.
Admitir que o coeficiente global de transmissão de calor baseado na superfície externa do tubo é 500 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}, que a solução de álcool escoa na carcaça e a água nos tubos e considerar as seguintes configurações:
a) escoamento paralelo; (4 pts)
b) escoamento contracorrente; (1,5 pt)
c) trocador de calor casco e tubo com um passe na carcaça e 72 passes nos tubos, considerando o mesmo diâmetro (\mathrm{D}=25 \mathrm{~mm}) e dados anteriores, o método da média logarítmica de temperatura. ( 3,5 pts)
d) Compare os valores calculados e aponte a melhor alternativa. (1 pt)
Propriedades:
cp, alcool 95 \%=0,91 \mathrm{kcal} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{c}
co , água =1 \mathrm{Kcal} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{c}
Conversão
1 \mathrm{cal}=4,18 \mathrm{~J}

Passo 1

Vou organizar com calma o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto (sem começar a resolver ainda).
Dados fornecidos (vou usar notação consistente e depois resolver passo a passo):
\begin{aligned} &\dot m_{\text{álcool}}=15.000\\ \mathrm{kg/h},\\\ &c_{p,\text{álcool}}=0{,}91\\ \mathrm{kcal/(kg\,^\circ C)},\\\ &T_{h,\text{in}}=65^\circ\mathrm{C},\qquad T_{h,\text{out}}=40^\circ\mathrm{C};\\[4pt] &\dot m_{\text{água}}=30.000\\ \mathrm{kg/h},\\\ &c_{p,\text{água}}=1{,}00\\ \mathrm{kcal/(kg\,^\circ C)},\\\ &T_{c,\text{in}}=15^\circ\mathrm{C}\\ \text{(água nos tubos)};\\[4pt] &\text{diâmetro externo do tubo: }D=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m};\\\ &U_{\text{baseada na superfície externa}}=500\\ \mathrm{kcal/(h\;m^2\;^\circ C)}. \end{aligned}áááááâí
O que é pedido:
a) comprimento do trocador (tubo duplo / concêntrico) para escoamento paralelo;
b) comprimento para escoamento contracorrente;
c) comprimento por tubo (considerando casco-tubo com 1 passe na carcaça e 72 passes nos tubos, mesmo diâmetro) usando o mesmo método LMTD;
d) comparar os valores e indicar a melhor alternativa.
Observações que vou usar sem pedir confirmação:
  • A carga térmica Q é ditada pelo resfriamento do álcool (fluxo e cp dados). Vou calcular Q primeiro pela energia do fluido quente.
  • Para os casos (a) e (b) o trocador é o tipo duplo (um único tubo interno sendo envolvido pela carcaça), logo o A necessária se traduz em comprimento do tubo por A=\pi D L.
  • No caso (c) há 72 passagens nos tubos; vou assumir que são 72 tubos (ou 72 passagens equivalentes em paralelo), de modo que a área total é a soma das áreas externas de todos os tubos: A_{\text{total}}=N\pi D L e o comprimento por tubo será L=A_{\text{total}}/(N\pi D).
  • Usarei o método da média logarítmica de temperatura (LMTD). Para trocador do tipo casco e tubo com 1 shell pass e 72 tube passes seria, em princípio, necessário o fator de correção F. No entanto, conforme mostramos adiante, as condições numéricas (pequeno P) tornam F muito próximo de 1; portanto a aproximação com LMTD (contracorrente) é adequada e usual em provas quando não fornecem a tabela/expressão de F. Vou justificar isso quando chegar em (c).]

Passo 2

Calcular a carga térmica Q (energia a ser retirada do álcool) usando balanço de energia no fluido quente:
fórmula básica:
Q=\dot m_h\, c_{p,h}\,(T_{h,\text{in}}-T_{h,\text{out}}).
Substituindo:
Q=15000\cdot 0{,}91\cdot(65-40)=15000\cdot 0{,}91\cdot 25.
Calculemos:
0{,}91\cdot 25=22{,}75
Q=15000\cdot 22{,}75=341250\\ \mathrm{kcal/h}.
Explicação didática: a fórmula vem de energia sensível: massa × calor específico × queda de temperatura. Aqui o álcool perde calor, então Q é positivo e igual ao calor cedido.

Passo 3

Determinar a temperatura de saída da água (fria) pelo balanço de energia (a água ganha todo o calor cedido pelo álcool):
Q=\dot m_c\, c_{p,c}\,(T_{c,\text{out}}-T_{c,\text{in}}).
Isolando T_{c,\text{out}}:
T_{c,\text{out}}=T_{c,\text{in}}+\frac{Q}{\dot m_c\, c_{p,c}}.
Substituindo:
T_{c,\text{out}}=15^\circ\mathrm{C}+\frac{341250}{30000\cdot 1}=15^\circ\mathrm{C}+11{,}375^\circ\mathrm{C}.
Logo:
T_{c,\text{out}}=26{,}375^\circ\mathrm{C}.
Comentário prático: isso já nos diz que a água irá subir cerca de 11{,}375^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Definição da média logarítmica de temperatura (LMTD).
Quando temos dois fluidos com variações lineares de temperatura e sem complicações geométricas, a LMTD é:
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\big(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\big)},
onde \Delta T_1 e \Delta T_2 são as diferenças de temperatura nas duas extremidades do trocador.
  • Para escoamento paralelo: \Delta T_1=T_{h,\text{in}}-T_{c,\text{in}} e \Delta T_2=T_{h,\text{out}}-T_{c,\text{out}}.
  • Para escoamento contracorrente: \Delta T_1=T_{h,\text{in}}-T_{c,\text{out}} e \Delta T_2=T_{h,\text{out}}-T_{c,\text{in}}.
A relação entre carga, área e LMTD é a conhecida:
Q = U\,A\,\Delta T_{lm},
onde U é o coeficiente global (dado) e A é a área de troca térmica considerada (aqui, área externa do tubo).

Passo 5

Calculemos \Delta T_1 e \Delta T_2:
\Delta T_1 = 65-15=50^\circ\mathrm{C}, \qquad \Delta T_2 = 40-26{,}375 =13{,}625^\circ\mathrm{C}.
Agora a LMTD:
\Delta T_{lm}=\frac{50-13{,}625}{\ln\!\big(\dfrac{50}{13{,}625}\big)} =\frac{36{,}375}{\ln(3{,}669)}.
Calcule o logaritmo:
\ln(3{,}669)\approx 1{,}29983.
Logo:
\Delta T_{lm}\approx \frac{36{,}375}{1{,}29983}\approx 28{,}00^\circ\mathrm{C}.
Agora a área A:
A=\frac{Q}{U\,\Delta T_{lm}}=\frac{341250}{500\cdot 28{,}00}=\frac{341250}{14000}\approx 24{,}376\\ \mathrm{m^2}.
Convertendo área em comprimento do tubo (área externa por metro de tubo é \pi D):
L=\frac{A}{\pi D}=\frac{24{,}376}{\pi\cdot 0{,}025}.
Calculemos:
\pi\cdot 0{,}025\approx 0{,}0785398,
L\approx \frac{24{,}376}{0{,}0785398}\approx 310{,}24\\ \mathrm{m}.
Interpretação: para escoamento paralelo numa configuração de tubo único concentric, precisaríamos de aproximadamente 310{,}2\\ \mathrm{m} de comprimento do tubo.

Passo 6

Calculemos as diferenças termométricas:
\Delta T_1 = T_{h,\text{in}}-T_{c,\text{out}}=65-26{,}375=38{,}625^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = T_{h,\text{out}}-T_{c,\text{in}}=40-15=25^\circ\mathrm{C}.
LMTD:
\Delta T_{lm}=\frac{38{,}625-25}{\ln\!\big(\dfrac{38{,}625}{25}\big)}=\frac{13{,}625}{\ln(1{,}545)}.
\ln(1{,}545)\approx 0{,}43485,
\Delta T_{lm}\approx \frac{13{,}625}{0{,}43485}\approx 31{,}345^\circ\mathrm{C}.
Área necessária:
A=\frac{341250}{500\cdot 31{,}345}=\frac{341250}{15672{,}5}\approx 21{,}774\\ \mathrm{m^2}.
Comprimento do tubo (único):
L=\frac{A}{\pi D}=\frac{21{,}774}{0{,}0785398}\approx 277{,}27\\ \mathrm{m}.
Interpretação: em contracorrente precisamos de menos área (LMTD maior), logo comprimento menor: aproximadamente 277{,}3\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Primeiro, ideia física e hipótese prática:
  • A carga Q não muda (é a mesma calculada no Passo 2).
  • A LMTD ideal para um trocador 1 shell pass / múltiplos tube passes requereria um fator de correção F (tabela/curvas padrão). Porém, para nossos dados numéricos podemos avaliar parâmetros que mostram que F estará muito próximo de 1: isto acontece quando o parâmetro
P=\frac{T_{c,\text{out}}-T_{c,\text{in}}}{T_{h,\text{in}}-T_{c,\text{in}}}
é pequeno e o regime tende a aproximar-se do contracorrente no desempenho efetivo. Vamos calcular R e P (são usados nas tabelas de correção):
R=\frac{T_{h,\text{in}}-T_{h,\text{out}}}{T_{c,\text{out}}-T_{c,\text{in}}}=\frac{65-40}{26{,}375-15}=\frac{25}{11{,}375}\approx 2{,}197,
P=\frac{11{,}375}{65-15}=\frac{11{,}375}{50}=0{,}2275.
Com P relativamente pequeno ( \approx 0{,}23) e R>1, as correções F típicas para 1 shell pass e muitos tube passes ficam próximas de 0{,}95 1{,}00 dependendo da geometria exata. Em exames/avaliações quando não se fornece tabela de F, a aproximação F\approx 1 é aceitável e com efeito pequeno sobre o comprimento final. Assim, vou usar a LMTD do caso contracorrente (melhor caso físico) como aproximação prática — isto fornece um resultado conservador e simples de aplicar em prova.
Portanto, tomo A_{\text{total}}=21{,}774\\ \mathrm{m^2} (valor do caso contracorrente do Passo 6).
Agora, com N=72 tubos em paralelo (72 passes/tubos), a área por metro de comprimento total (soma de todas as áreas externas) é:
A_{\text{por\\ metro}}=N\cdot \pi D =72\cdot \pi\cdot 0{,}025 \approx 5{,}655\\ \mathrm{m^2/m}.
Logo o comprimento por tubo (comprimento efetivo de cada tubo) será
L_{\text{por tubo}}=\frac{A_{\text{total}}}{N\pi D}=\frac{21{,}774}{5{,}655}\approx 3{,}850\\ \mathrm{m}.
Se em vez de usar a aproximação contracorrente tivéssemos usado o caso paralelo, o comprimento por tubo seria
L_{\text{paralelo, por tubo}}=\frac{24{,}376}{5{,}655}\approx 4{,}310\\ \mathrm{m},
portanto a diferença é relativamente pequena quando se divide por 72 tubos.
Comentário didático: ter muitos tubos em paralelo reduz dramaticamente o comprimento necessário por tubo porque a área total desejada é distribuída entre muitos tubos. É por isso que trocadores casco-tubo são práticos — você obtém grande área com tubos curtos e muitos paralelos.

Passo 8

Resumo numérico (valores arredondados com 3 algarismos significativos):
  • a) escoamento paralelo (tubo único, doppio): L\approx 310{,}2\\ \mathrm{m}.
  • b) escoamento contracorrente (tubo único): L\approx 277{,}3\\ \mathrm{m}.
  • c) casco-tubo com 1 shell pass e 72 passes/tubos (aproximando F\approx 1, usando LMTD contracorrente): comprimento por tubo L\approx 3{,}85\\ \mathrm{m}.
Análise prática:
  • Entre (a) e (b), o contracorrente exige menos área/menor comprimento porque produz maior LMTD; logo (b) é melhor que (a).
  • A solução (c) é muito mais prática: dividir a área entre 72 tubos reduz o comprimento por tubo para cerca de 3{,}85\\ \mathrm{m}, algo factível e comum em projetos industriais. Portanto a melhor alternativa prática é o casco-tubo com muitos tubos (c), operando em configuração que se aproxima do contracorrente (ou com fator de correção F próximo de 1).
Força motivacional (curta): você já chegou longe — esse tipo de problema é cansativo, mas o princípio é sempre o mesmo: calcular Q, achar as temperaturas, usar LMTD e converter área em comprimento. Dá orgulho ver isso fechado passo a passo!

Resposta

(a) L\approx 310{,}2\\ \mathrm{m}.
(b) L\approx 277{,}3\\ \mathrm{m}.
(c) comprimento por tubo (72 tubos em paralelo, aproximando F\approx 1): L\approx 3{,}85\\ \mathrm{m} por tubo.
(d) Melhor alternativa: (c) casco-tubo com 72 passes (menor comprimento por tubo e solução prática), sendo o contracorrente melhor que o paralelo entre as configurações de tubo único.

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