Determine a condutância de um fio com 2,05 \mathrm{~mm} de diâmetro cujo comprimento é 1000 pés, supondo que este fio seja feito de:
Cobre

Passo 1

O enunciado pede a condutância de um fio de diâmetro 2,05\\ \mathrm{mm} e comprimento 1000 pés, supondo que o fio seja de cobre. Informações dadas:
  • diâmetro: d = 2,05\\ \mathrm{mm};
  • comprimento: L = 1000\\ \mathrm{ft};
  • material: cobre (devemos usar a resistividade do cobre).
    A única pergunta é: qual é a condutância do fio?

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas fundamentais que ligam resistência, condutância e geometria do fio.
A condutância G é o inverso da resistência R:
G = \frac{1}{R}.
A resistência de um fio cilíndrico homogêneo é dada por:
R = \rho \frac{L}{A},
onde:
  • \rho é a resistividade do material (unidade \Omega\cdot\mathrm{m});
  • L é o comprimento do fio (unidade \mathrm{m});
  • A é a área da seção transversal do fio (unidade \mathrm{m}^2).
Explicando de forma simples: a resistência cresce com o comprimento e com a resistividade, e diminui quanto maior for a área da seção transversal.

Passo 3

Precisamos do valor da resistividade do cobre. Vou usar o valor padrão à temperatura ambiente (aproximadamente 20^\circ\mathrm{C}):
\rho_{\text{Cu}} = 1,68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Observação: a resistividade depende da temperatura; se a temperatura for diferente de 20^\circ\mathrm{C} o resultado mudará um pouco. Como o enunciado não dá temperatura, essa é a suposição usual em problemas.

Passo 4

Converter o comprimento de pés para metros. A conversão exata é:
1\\ \mathrm{ft} = 0,3048\\ \mathrm{m}.
Logo,
L = 1000\\ \mathrm{ft} = 1000\times0,3048\\ \mathrm{m} = 304,8\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converter o diâmetro para metros e calcular a área da seção transversal (círculo).
Diâmetro:
d = 2,05\\ \mathrm{mm} = 2,05\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Raio:
r = \frac{d}{2} = \frac{2,05\times10^{-3}}{2} = 1,025\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Área da seção transversal:
A = \pi r^2.

Passo 6

Calcular r^2 e depois A passo a passo.
Primeiro:
r^2 = \left(1,025\times10^{-3}\right)^2 = 1,050625\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
Agora:
A = \pi \times 1,050625\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
Usando \pi \approx 3,14159265,
A \approx 3,298672\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 7

Calcular a resistência R usando R=\rho L/A. Primeiro calculamos \rho L:
\rho L = \left(1,68\times10^{-8}\right)\times 304,8 = 5,12064\times10^{-6}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}^2.
Agora dividimos por A:
R = \frac{5,12064\times10^{-6}}{3,298672\times10^{-6}}\\ \Omega \approx 1,5526\\ \Omega.
Interpretação: o fio de cobre, com esse comprimento e diâmetro, tem resistência cerca de 1,55\\ \Omega.

Passo 8

Calcular a condutância G como inverso da resistência:
G = \frac{1}{R} = \frac{1}{1,5526\\ \Omega} \approx 0,6440\\ \mathrm{S},
onde \mathrm{S} (siemens) é a unidade de condutância ( 1\\ \mathrm{S}=1/\Omega).

Passo 9

Conclusão e observações finais rápidas: com a resistividade padrão do cobre a 20^\circ\mathrm{C}, obtemos G\approx0,6440\\ \mathrm{S}. Se a temperatura do fio for significativamente diferente, a resistividade e, portanto, a condutância mudam; para temperaturas maiores, a resistividade aumenta e a condutância diminui.

Resposta

G \approx 0,6440\\ \mathrm{S}

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