A resistência de um fio de cobre é 1 \Omega a 4^{\circ} \mathrm{C}.
A que temperatura ela será 0,1 \Omega ?

Passo 1

O enunciado dá a resistência de um fio de cobre em uma temperatura e pede a temperatura em que a resistência será outro valor. Dados e pedido, explicitados:
  • Resistência inicial: \,R_0 = 1\\ \Omega (a 4^\circ\mathrm{C}).
  • Temperatura inicial: \,T_0 = 4^\circ\mathrm{C}.
  • Resistência desejada: \,R = 0{,}1\\ \Omega.
  • Pedido: encontrar a temperatura \,T tal que a resistência do fio seja \,0{,}1\\ \Omega.

Passo 2

Apresento a fórmula que relaciona a resistência com a temperatura (aproximação linear muito usada em exercícios):
R(T)=R_0\bigl[1+\alpha\,(T-T_0)\bigr].
Explicando cada símbolo (passo a passo e sem assumir que você já saiba):
  • \,R(T) é a resistência do fio à temperatura \,T.
  • \,R_0 é a resistência conhecida à temperatura de referência \,T_0.
  • \,\alpha é o coeficiente de temperatura da resistência (também chamado coeficiente de resistividade). Ele mede a fração da mudança de resistência por grau Celsius: por exemplo, \alpha=0{,}004\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} significa que a resistência muda 0{,}4\% por grau.
  • A fórmula vem do fato de que a resistividade do metal varia aproximadamente de forma linear com a temperatura em intervalos moderados; como R\propto\rho (onde \rho é a resistividade), a mesma variação linear se aplica à resistência.
Um exemplo concreto para entender: se \alpha=0{,}004\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} e a temperatura sobe 10^\circ\mathrm{C}, a resistência aumenta em 1+\alpha\cdot 10 = 1+0{,}04 = 1{,}04, ou seja um acréscimo de 4\%.

Passo 3

Precisamos de um valor para \alpha para o cobre. Em problemas tipo prova costuma-se usar o valor típico aproximado
\alpha \approx 4{,}0\times 10^{-3}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} \quad\text{(ou seja, }\alpha=0{,}004\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}\text{)}.
Obs.: existe um valor mais preciso \alpha\approx 0{,}00393\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} (avaliado perto de 20^\circ\mathrm{C}), mas para contas de prova usar 0{,}004 é comum e simplifica a aritmética. Se quiser, dá para refazer com 0{,}00393 e você verá que o resultado muda pouco.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com os números do enunciado. Substituindo \,R(T)=0{,}1\\ \Omega, \,R_0=1\\ \Omega, \,T_0=4^\circ\mathrm{C} e \,\alpha=0{,}004\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}:
0{,}1 = 1\bigl[1+0{,}004\,(T-4)\bigr].

Passo 5

Isolando T. Primeiro subtrai 1 dos dois lados:
0{,}1-1 = 0{,}004\,(T-4).
Isso dá
-0{,}9 = 0{,}004\,(T-4).
Agora divide pelos 0{,}004:
T-4 = \frac{-0{,}9}{0{,}004}.
Calculando a divisão:
\frac{-0{,}9}{0{,}004} = -225.
Logo
T-4 = -225 \quad\Rightarrow\quad T = 4-225 = -221.
Portanto, usando \alpha=0{,}004\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} obtemos T = -221^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação e observações (úteis para prova e para você não se assustar com o número):
  • O resultado é uma extrapolação para temperaturas muito baixas; a fórmula linear é uma aproximação válida para variações moderadas de temperatura. A resposta numérica está coerente matematicamente, mas fisicamente pode ficar fora do regime onde a dependência é perfeitamente linear.
  • Se você usar o valor mais preciso \alpha=0{,}00393\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}, a conta fica:
T-4 = \frac{-0{,}9}{0{,}00393}\approx -229{,}0 \quad\Rightarrow\quad T\approx -225^\circ\mathrm{C},
ou seja, o resultado muda pouco (aprox. -225^\circ\mathrm{C} em vez de -221^\circ\mathrm{C}).
  • Conclusão prática: a resistência só cairia a 10% do valor a 4^\circ\mathrm{C} em temperaturas muito baixas (ordem de -220^\circ\mathrm{C}), mostrando que obter grande redução de resistência requer refrigeração intensa.

Resposta

-221^\circ\mathrm{C}

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