A resistência de um fio de cobre é 1 \Omega a 4^{\circ} \mathrm{C}.
A que temperatura ( { }^{\circ} \mathrm{C} ) ela será 1,1 \Omega ?

Passo 1

O enunciado dá a resistência de um fio de cobre e pede a temperatura em que a resistência atinge outro valor. Dados fornecidos:
R_0 = 1\\ \Omega \quad \text{a} \quad T_0 = 4^\circ\mathrm{C}
R = 1,1\\ \Omega \quad \text{(valor desejado)}
A pergunta é: a que temperatura \,T (em ^\circ\mathrm{C}) teremos \,R=1,1\\ \Omega?

Passo 2

Conceito importante: a resistência de um condutor metálico varia com a temperatura, aproximadamente de forma linear para variações moderadas de temperatura. A fórmula linear usada é
R = R_0\bigl[1 + \alpha\,(T - T_0)\bigr],
onde:
  • R é a resistência à temperatura T;
  • R_0 é a resistência à temperatura de referência T_0;
  • \alpha é o coeficiente de temperatura da resistência (unidade: ^\circ\mathrm{C}^{-1});
  • T e T_0 estão em ^\circ\mathrm{C}.
Explicando didaticamente: \alpha diz quanto a resistência relativa muda por grau Celsius. Por exemplo, \alpha=0,004\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} significa que a cada aumento de 1^\circ\mathrm{C} a resistência aumenta em 0,4\% do valor naquele ponto.

Passo 3

Precisamos de um valor para \alpha do cobre. Em problemas de física introdutória costuma-se usar um valor aproximado para cobre próximo de
\alpha \approx 0,004\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Esse valor é uma aproximação usual (o valor real depende da temperatura, mas para pequenos intervalos é aceitável usar \alpha constante).

Passo 4

Agora substituímos os dados na fórmula e resolvemos para T. Partimos de
R = R_0\bigl[1 + \alpha\,(T - T_0)\bigr].
Isolando T:
\frac{R}{R_0} = 1 + \alpha\,(T - T_0)
\alpha\,(T - T_0) = \frac{R}{R_0} - 1
T - T_0 = \frac{1}{\alpha}\left(\frac{R}{R_0} - 1\right)
T = T_0 + \frac{1}{\alpha}\left(\frac{R}{R_0} - 1\right).

Passo 5

Agora fazemos as contas com os números dados: R_0=1\\ \Omega, R=1,1\\ \Omega, T_0=4^\circ\mathrm{C} e \alpha=0,004\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
\frac{R}{R_0} - 1 = \frac{1,1}{1} - 1 = 0,1.
T = 4 + \frac{0,1}{0,004} = 4 + 25 = 29.
Portanto T = 29^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Cheque rápido: calculando a resistência a 29^\circ\mathrm{C},
R = 1\cdot\bigl[1 + 0,004\cdot(29-4)\bigr] = 1\cdot(1 + 0,004\cdot25) = 1\cdot(1 + 0,1) = 1,1\\ \Omega,
confere certinho. Boa!

Resposta

29^\circ\mathrm{C}

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