Determine as configurações do controlador PI, para um processo de primeira ordem ( Kp=13, taup=15), utilizando especificação de polo, se é desejado obter um fator de amortecimento em malha fechada de 0,7 e um período natural em malha fechada de 3.

Passo 1

Beleza! O enunciado diz o seguinte: temos um processo de primeira ordem com ganho e tempo de resposta (constante de tempo) . A gente vai projetar um controlador PI para esse processo, mandando a malha fechada ficar com fator de amortecimento e frequência natural .
Conteúdo principal: projeto por especificação de polos (a gente força o denominador da malha fechada a ser o polinômio de segunda ordem desejado).
O que vamos precisar:
  • Função de transferência do processo .
  • Estrutura do controlador PI .
  • Montar a equação característica .
  • Igualar com o polinômio desejado .
A partir do próximo passo começamos a resolução de fato.

Passo 2

Escrevendo tudo em Latex:
  1. Processo: G(s) ;=; Kptaup,s + 1 ;=; 1315,s + 1,
  2. Controlador PI: C(s) ;=; Kcl(1 + 1Ti,sr);
  3. Função laço aberto: L(s) ;=; C(s),G(s) ;=; Kcl(1 + 1Ti,sr),1315,s + 1 ;=; 13,Kc,(Ti s +1)Ti,s,(15s+1);
  4. A equação característica (denom. da malha fechada) é 1 + L(s) ;=; 0;;Longrightarrow;; Ti,s(15s+1) + 13,Kc,(Ti s+1) = 0,

Passo 3

Agora a gente desenvolve esse polinômio:
15,Ti,s^2 ;+; l(Ti + 13,Kc,Tir)s ;+; 13,Kc ;=; 0,
e
s^2 + 2zetaomegan,s + omegan^2 = 0
Somando dá:
s^2 + Ti(1 + 13Kc)15Ti,s + 13,Kc15,Ti = s^2 + 2zetaomegan,s + omegan^2,
Para comparar com o polinômio de segunda ordem desejado
a gente divide tudo por , ficando:
Ou seja, as duas igualdades de coeficiente são:
(i) ,
(ii) .

Passo 4

Substituindo 1 + 13,Kc15 = 2cdot0,7cdot3 = 4,2 Longrightarrow 1 + 13,Kc = 15cdot4,2 = 63 Longrightarrow 13,Kc = 62 Longrightarrow Kc = 6213 approx 4,769 , 13,Kc15,Ti = 3^2 = 9 Longrightarrow Ti = 13,Kc15cdot9 = 6215cdot9 = 62135 approx 0,4593 :
  1. Da equação (i):
  2. Da equação (ii):

Resposta

Os parâmetros do controlador PI são
boxed,Kc approx 4,77, Ti approx 0,46,

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