Trace o diagrama do lugar das raízes para o sistema dado como segue:
Gp(s)=5030 s+1 ; Ga(s)=0,0163 s+1 ; Gm(s)=110 s+1 ; Gc(s)=Kc

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente “desenhar” (ou traçar) o lugar das raízes (root locus) de um sistema em malha aberta formado por
,
,
e
.
Conteúdo: lugar das raízes em sistemas de controle.
O que vamos usar:
  • Montar a função de malha aberta .
  • Identificar polos e zeros de .
  • Usar as regras do root locus: quantidade de ramos, segmentos no eixo real, assíntotas, centroide, ângulos e possíveis cruzamentos no eixo imaginário (usando o critério de Routh).
A partir do próximo passo a gente começa a resolver de fato, sem pular etapa nenhuma.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de transferência de malha aberta:
L(s);=;Kc;times;5030s+1;times;0,0163s+1;times;110s+1 ;=;Kc;50cdot0,016(30s+1)(3s+1)(10s+1) ;=;Kc;0,8(30s+1)(3s+1)(10s+1)
Simplificando, o numerador é e o denominador é o produto dos três fatores lineares.

Passo 3

Agora, polos e zeros de 30s+1=0;Rightarrow;s=-tfrac130approx-0,0333, :
  • Zeros: não há zeros finitos.
  • Polos em: 3s+1=0;Rightarrow;s=-tfrac13approx-0,3333, 10s+1=0;Rightarrow;s=-tfrac110approx-0,1
Logo, há 3 polos reais e nenhum zero finito, o que significa 3 ramos do root locus que saem desses polos e vão para zeros no infinito.

Passo 4

Segmentos do ejeito real onde o locus existe:
A regra é: em cada ponto real, conta quantos polos+zeros estão à direita; se for ímpar, tem root locus ali. Ordenando os polos:
.
  • No intervalo : há 3 polos à direita → ímpar → tem locus.
  • Em : há 2 à direita → par → não tem.
  • Em : há 1 à direita → ímpar → tem.
  • Em : há 0 à direita → par → não tem.

Passo 5

Assíntotas do root locus (para onde vão os ramos que não encontram zeros finitos):
– Número de assíntotas = (#polos – #zeros) = 3 – 0 = 3.
– Ângulos das assíntotas theta0=60^circ, theta1=180^circ, theta2=300^circ;(=-60^circ) , para , ou seja

Passo 6

Centroide das assíntotas, dado por
sigmaa = sum polos - sum zeros3 = l(-tfrac130-tfrac13-tfrac110r)3 = -0,0333 -0,3333 -0,13 approx -0,1556
Então as três retas saem de nos ângulos 60°, 180° e –60°.

Passo 7

Para ver se o locus cruza o eixo imaginário, montamos a equação característica:
1+L(s)=0 ;Longrightarrow; (30s+1)(3s+1)(10s+1)+0,8Kc=0
Expandindo o produto:
900s^3+420s^2+43s+(1+0,8Kc)=0 ,
Kc approx 23,83 .
Então a característica fica
Aplicando o critério de Routh, obtemos a condição de cruzamento quando o termo da linha fica zero, resultando em
Nesse valor de o root locus cruza o eixo imaginário.

Resposta

O lugar das raízes tem 3 ramos saindo dos polos reais em
, e .
Eles ocupam os intervalos reais e .
Como não há zeros finitos, 3 ramos vão para o infinito, seguindo assíntotas que partem do centroide nos ângulos , e .
O cruzamento com o eixo imaginário ocorre em .

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