Trace o diagrama do lugar das raízes para o sistema dado como segue:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente “desenhar” (ou traçar) o lugar das raízes (root locus) de um sistema em malha aberta formado por
,
,
e
.
Conteúdo: lugar das raízes em sistemas de controle.
O que vamos usar:
Conteúdo: lugar das raízes em sistemas de controle.
O que vamos usar:
- Montar a função de malha aberta
. - Identificar polos e zeros de
. - Usar as regras do root locus: quantidade de ramos, segmentos no eixo real, assíntotas, centroide, ângulos e possíveis cruzamentos no eixo imaginário (usando o critério de Routh).
A partir do próximo passo a gente começa a resolver de fato, sem pular etapa nenhuma.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de transferência de malha aberta:
Simplificando, o numerador é
e o denominador é o produto dos três fatores lineares.
Passo 3
Agora, polos e zeros de
:
- Zeros: não há zeros finitos.
- Polos em:
Logo, há 3 polos reais e nenhum zero finito, o que significa 3 ramos do root locus que saem desses polos e vão para zeros no infinito.
Passo 4
Segmentos do ejeito real onde o locus existe:
A regra é: em cada ponto real, conta quantos polos+zeros estão à direita; se for ímpar, tem root locus ali. Ordenando os polos:
…
…
…
…
.
A regra é: em cada ponto real, conta quantos polos+zeros estão à direita; se for ímpar, tem root locus ali. Ordenando os polos:
- No intervalo
: há 3 polos à direita → ímpar → tem locus. - Em
: há 2 à direita → par → não tem. - Em
: há 1 à direita → ímpar → tem. - Em
: há 0 à direita → par → não tem.
Passo 5
Assíntotas do root locus (para onde vão os ramos que não encontram zeros finitos):
– Número de assíntotas = (#polos – #zeros) = 3 – 0 = 3.
– Ângulos das assíntotas , para
, ou seja
– Número de assíntotas = (#polos – #zeros) = 3 – 0 = 3.
– Ângulos das assíntotas
Passo 6
Centroide das assíntotas, dado por
Então as três retas saem de
nos ângulos 60°, 180° e –60°.
Passo 7
Para ver se o locus cruza o eixo imaginário, montamos a equação característica:
Expandindo o produto:
,
.
Então a característica fica
Então a característica fica
Aplicando o critério de Routh, obtemos a condição de cruzamento quando o termo da linha
fica zero, resultando em
Nesse valor de
o root locus cruza o eixo imaginário.
Resposta
O lugar das raízes tem 3 ramos saindo dos polos reais em
,
e
.
Eles ocupam os intervalos reais e
.
Como não há zeros finitos, 3 ramos vão para o infinito, seguindo assíntotas que partem do centroide nos ângulos
,
e
.
O cruzamento com o eixo imaginário ocorre em .
Eles ocupam os intervalos reais
Como não há zeros finitos, 3 ramos vão para o infinito, seguindo assíntotas que partem do centroide
O cruzamento com o eixo imaginário ocorre em