Determine se as congruências lineares abaixo possuiem soluções. Em caso afirmativo, encontre todas as soluções incongruentes:
4 x \equiv 7(\bmod 22)

Passo 1

O enunciado nos dá a congruência linear
4x \equiv 7 \pmod{22}.
O que se pede:
  • Verificar se a congruência possui solução;
  • Caso exista, encontrar todas as soluções incongruentes módulo \,22.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • a=4 (coeficiente de x);
  • b=7 (termo do lado direito);
  • n=22 (módulo).

Passo 2

Regra essencial que vou usar (explicada devagar): para a congruência linear
a x \equiv b \pmod{n}
existirem soluções é necessário e suficiente que o máximo divisor comum de a e n, escrito \gcd(a,n), divida b. Em palavras: \gcd(a,n) tem que ser um divisor de b. Se isso ocorrer, existem exatamente \gcd(a,n) soluções incongruentes módulo n; se não ocorrer, não há solução.
Explicando a ideia por trás disso (sem jargão): a x só pode atingir valores congruentes a múltiplos de \gcd(a,n) quando variamos x. Portanto o lado direito b precisa estar alinhado com esses múltiplos — ou seja, ser múltiplo de \gcd(a,n).

Passo 3

Vamos calcular \gcd(4,22) com o algoritmo de Euclides:
22 = 5\cdot 4 + 2,
4 = 2\cdot 2 + 0.
Logo
\gcd(4,22)=2.

Passo 4

Agora verifico se \gcd(4,22)=2 divide b=7. Como 7 é ímpar, 2\nmid 7 (ou seja, 7 não é múltiplo de 2). Portanto a condição de existência de solução falha.

Passo 5

Conclusão direta a partir da teoria: a congruência
4x \equiv 7 \pmod{22}
não possui solução, porque \gcd(4,22)=2 e 2\nmid 7.
Observação didática (exemplo útil para a prova): se o lado direito fosse, por exemplo, 8 (que é divisível por 2), então procederíamos dividindo tudo por 2 e resolvendo a congruência reduzida. Por exemplo, para
4x \equiv 8 \pmod{22},
dividindo por 2 obtemos
2x \equiv 4 \pmod{11},
e aí encontramos x usando o inverso de 2 módulo 11 (que é 6 porque 2\cdot6\equiv1\pmod{11}), obtendo x\equiv 6\cdot4\equiv24\equiv2\pmod{11}. Como \gcd=2, teríamos duas soluções incongruentes módulo 22: x\equiv2 e x\equiv2+11\equiv13\pmod{22}. Isso mostra como proceder quando a divisibilidade ocorre.

Resposta

A congruência não possui solução.

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