Determine se as congruências lineares abaixo possuiem soluções. Em caso afirmativo, encontre todas as soluções incongruentes:
Passo 1
O enunciado nos dá a congruência linear
O que se pede:
- Verificar se a congruência possui solução;
- Caso exista, encontrar todas as soluções incongruentes módulo
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
(coeficiente de ); -
(termo do lado direito); -
(módulo).
Passo 2
Regra essencial que vou usar (explicada devagar): para a congruência linear
existirem soluções é necessário e suficiente que o máximo divisor comum de
e
, escrito
, divida
. Em palavras:
tem que ser um divisor de
. Se isso ocorrer, existem exatamente
soluções incongruentes módulo
; se não ocorrer, não há solução.
Explicando a ideia por trás disso (sem jargão):
só pode atingir valores congruentes a múltiplos de
quando variamos
. Portanto o lado direito
precisa estar alinhado com esses múltiplos — ou seja, ser múltiplo de
.
Passo 3
Vamos calcular
com o algoritmo de Euclides:
Logo
Passo 4
Agora verifico se
divide
. Como
é ímpar,
(ou seja,
não é múltiplo de
). Portanto a condição de existência de solução falha.
Passo 5
Conclusão direta a partir da teoria: a congruência
não possui solução, porque
e
.
Observação didática (exemplo útil para a prova): se o lado direito fosse, por exemplo,
(que é divisível por
), então procederíamos dividindo tudo por
e resolvendo a congruência reduzida. Por exemplo, para
dividindo por
obtemos
e aí encontramos
usando o inverso de
módulo
(que é
porque
), obtendo
. Como
, teríamos duas soluções incongruentes módulo
:
e
. Isso mostra como proceder quando a divisibilidade ocorre.
Resposta
A congruência não possui solução.