(2,0)(2,0) De que modos é possível combinar 50 moedas, misturando moedas de 1 , de 10 e de 25 centavos, de modo a totalizar 3,20 reais?

Passo 1

O enunciado pede: de quantos modos (ou seja, quantas combinações de números de moedas) é possível juntar exatamente 50 moedas, usando moedas de 1 centavo, 10 centavos e 25 centavos, de modo que o total valha R$3,20.
Informações dadas (convertidas para centavos, para facilitar contas):
  • Número total de moedas: \;50.
  • Denominações: \;1 centavo, \;10 centavos, \;25 centavos.
  • Valor total desejado: \;3{,}20 reais =320 centavos.
O que precisamos encontrar: todas as tuplas de inteiros não negativos (x,y,z) com
x+y+z=50
x+10y+25z=320
onde \;x é o número de moedas de 1 centavo, \;y o número de moedas de 10 centavos e \;z o número de moedas de 25 centavos. Cada solução inteira não negativa é um modo distinto de combinar as moedas.

Passo 2

Vamos escrever as equações com as variáveis definidas:
\begin{cases} x+y+z=50,\\[4pt] x+10y+25z=320. \end{cases}
A ideia é eliminar uma variável subtraindo as equações para simplificar. Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:
(x+10y+25z)-(x+y+z)=320-50.
Fazendo as contas do lado esquerdo e direito:
9y+24z=270.]

Passo 3

Simplificamos a equação dividindo por 3 (porque todos os coeficientes são divisíveis por 3):
3y+8z=90.
Agora isolamos y:
y=\frac{90-8z}{3}.
Para que y seja inteiro, o numerador 90-8z precisa ser divisível por 3. Vou explicar um jeito rápido de testar isso: olhar restos módulo 3.
Como 90\equiv0\pmod{3} e 8\equiv2\pmod{3}, temos 90-8z\equiv 0-2z\pmod{3}. Para 90-8z ser múltiplo de 3 precisamos de
-2z\equiv0\pmod{3}\quad\Longleftrightarrow\quad 2z\equiv0\pmod{3}.
Como 2 é invertível módulo 3, isso equivale a
z\equiv0\pmod{3}.
Portanto z deve ser múltiplo de 3.

Passo 4

Como z é múltiplo de 3, escrevemos z=3k com k inteiro não negativo. Substituindo em y=\dfrac{90-8z}{3}:
y=\frac{90-8(3k)}{3}=\frac{90-24k}{3}=30-8k.
Agora calculamos x usando x=50-y-z:
x=50-(30-8k)-3k=50-30+8k-3k=20+5k.

Passo 5

Impondo as condições de não negatividade ( x\ge0,\\ y\ge0,\\ z\ge0):
  • Como x=20+5k, para k\ge0 temos sempre x\ge0.
  • Como y=30-8k, precisamos de 30-8k\ge0, ou seja 8k\le30. Isso dá k\le\frac{30}{8}=3{,}75, então k inteiro satisfaz k\le3.
  • Como z=3k, k\ge0.
Logo os valores inteiros possíveis para k são k=0,1,2,3. Para cada um calculamos a tupla (x,y,z):
  • k=0:\; z=0,\\ y=30,\\ x=20. Verificação rápida: 20+30+0=50 e 20+300+0=320.
  • k=1:\; z=3,\\ y=22,\\ x=25. Verificação: 25+22+3=50 e 25+220+75=320.
  • k=2:\; z=6,\\ y=14,\\ x=30. Verificação: 30+14+6=50 e 30+140+150=320.
  • k=3:\; z=9,\\ y=6,\\ x=35. Verificação: 35+6+9=50 e 35+60+225=320.
Não há outros valores de k que funcionem, portanto são exatamente essas quatro soluções.

Passo 6

Resumo do raciocínio útil para a prova (dica prática): transforme reais em centavos para evitar vírgulas, escreva o sistema linear, elimine uma variável subtraindo equações, reduza a uma equação diofantina do tipo ay+bz=c, use congruências (módulo) para achar possíveis valores de uma variável e então imponha as desigualdades de não negatividade para achar o intervalo inteiro permitido. Sempre verifique cada solução encontrada nas equações originais.

Resposta

\text{Número de modos}=4ú
\text{Combinações }(x,y,z)=(20,30,0),(25,22,3),(30,14,6),(35,6,9)çõ

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