De que modos é possível combinar 50 moedas, misturando moedas de 1 , de 10 e de 25 centavos, de modo a totalizar 3,20 reais?
Passo 1
O enunciado pede: de quantos modos (ou seja, quantas combinações de números de moedas) é possível juntar exatamente 50 moedas, usando moedas de 1 centavo, 10 centavos e 25 centavos, de modo que o total valha R$3,20.
Informações dadas (convertidas para centavos, para facilitar contas):
- Número total de moedas:
. - Denominações:
centavo, centavos, centavos. - Valor total desejado:
reais centavos.
O que precisamos encontrar: todas as tuplas de inteiros não negativos
com
onde
é o número de moedas de
centavo,
o número de moedas de
centavos e
o número de moedas de
centavos. Cada solução inteira não negativa é um modo distinto de combinar as moedas.
Passo 2
Vamos escrever as equações com as variáveis definidas:
A ideia é eliminar uma variável subtraindo as equações para simplificar. Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:
Fazendo as contas do lado esquerdo e direito:
Passo 3
Simplificamos a equação dividindo por
(porque todos os coeficientes são divisíveis por
):
Agora isolamos
:
Para que
seja inteiro, o numerador
precisa ser divisível por
. Vou explicar um jeito rápido de testar isso: olhar restos módulo
.
Como
e
, temos
. Para
ser múltiplo de
precisamos de
Como
é invertível módulo
, isso equivale a
Portanto
deve ser múltiplo de
.
Passo 4
Como
é múltiplo de
, escrevemos
com
inteiro não negativo. Substituindo em
:
Agora calculamos
usando
:
Passo 5
Impondo as condições de não negatividade (
):
- Como
, para temos sempre . - Como
, precisamos de , ou seja . Isso dá , então inteiro satisfaz . - Como
, .
Logo os valores inteiros possíveis para
são
. Para cada um calculamos a tupla
:
-
. Verificação rápida: e . -
. Verificação: e . -
. Verificação: e . -
. Verificação: e .
Não há outros valores de
que funcionem, portanto são exatamente essas quatro soluções.
Passo 6
Resumo do raciocínio útil para a prova (dica prática): transforme reais em centavos para evitar vírgulas, escreva o sistema linear, elimine uma variável subtraindo equações, reduza a uma equação diofantina do tipo
, use congruências (módulo) para achar possíveis valores de uma variável e então imponha as desigualdades de não negatividade para achar o intervalo inteiro permitido. Sempre verifique cada solução encontrada nas equações originais.