Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
5 x+24 x-1>5 x-14 x+5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade racional
5x+24x-1 > 5x-14x+5,
para xinR. O conteúdo é análise de sinais em desigualdades racionais: vamos determinar o domínio, juntar tudo em um único quociente, encontrar zeros e polos e depois montar o diagrama de sinais.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio, pois não podemos ter divisão por zero. As restrições são
4x-1 neq 0 implies x neq tfrac14,
4x+5 neq 0 implies x neq -tfrac54
Logo o domínio é Rsetminusl-tfrac54,tfrac14r.

Passo 3

Subtraímos o segundo membro do primeiro para ficar tudo em um só quociente:
5x+24x-1 - 5x-14x+5 = (5x+2)(4x+5) - (5x-1)(4x-1)(4x-1)(4x+5)
Expandindo o numerador:
(5x+2)(4x+5)=20x^2+33x+10, (5x-1)(4x-1)=20x^2-9x+1,
diferença = (20x^2+33x+10)-(20x^2-9x+1)=42x+9=3(14x+3) ç
Logo nossa desigualdade vira
3,(14x+3)(4x-1)(4x+5) > 0 Long<=ftrightarrow 14x+3(4x-1)(4x+5) > 0

Passo 4

Os pontos que anulam o numerador ou tornam o denominador zero são
14x+3=0implies x=-tfrac314, 4x-1=0implies x=tfrac14, 4x+5=0implies x=-tfrac54
Assim particionamos a reta em quatro intervalos e analisamos o sinal de cada fator:
  • Para x<-tfrac54:
    14x+3<0, 4x-1<0, 4x+5<0 Rightarrow denom >0 Rightarrow fração <0.
  • Para -tfrac54<x<-tfrac314:
    14x+3<0, 4x-1<0, 4x+5>0 Rightarrow denom <0 Rightarrow fração >0.
  • Para -tfrac314<x<tfrac14:
    14x+3>0, 4x-1<0, 4x+5>0 Rightarrow denom <0 Rightarrow fração <0.
  • Para x>tfrac14:
    14x+3>0, 4x-1>0, 4x+5>0 Rightarrow denom >0 Rightarrow fração >0.

Passo 5

Queremos a fração estritamente positiva. Pelos sinais acima, isso ocorre em
-tfrac54 < x < -tfrac314 ou x > tfrac14,
lembrando que não incluímos x=-tfrac314, x=-tfrac54 ou x=tfrac14 (o numerador anula em -tfrac314 e o denominador em -tfrac54,tfrac14).

Resposta

S = l(-tfrac54,,-tfrac314r);cup;l(tfrac14,,+inftyr)

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