Esboce cuidadosamente a região do plano complexo cujos pontos satisfazem as condições |(2 barz+i 4)(raiz2-i)| <= 2 raiz3 e Im(z)>Re(z+2).

Passo 1

Vamos representar z=x+iy. O enunciado pede a região do plano complexo que satisfaz duas condições:
  1. l|(2bar z + i4)(raiz2 - i)r|<=2raiz3.
  2. Im(z)>Re(z+2).
    Vamos traduzir cada condição em inequações em x,y.

Passo 2

Calculemos primeiro
2bar z + i4 = 2(x - i y) + i4 = 2x + i(4 - 2y)
Multiplicando por raiz2 - i, defina
A = 2x, B = 4 - 2y
Então
(A + iB)(raiz2 - i) = (Araiz2 + B) + i,(Braiz2 - A)
O módulo ao quadrado vale
l(Araiz2 + Br)^2 + l(Braiz2 - Ar)^2 =3,(A^2 + B^2)
Logo
l|(2bar z + i4)(raiz2 - i)r| =raiz3,raizA^2 + B^2

Passo 3

A desigualdade
raiz3,raizA^2 + B^2<=2raiz3
é equivalente a
raizA^2 + B^2<=2 Longrightarrow A^2 + B^2<=4
Substituindo A=2x e B=4-2y, obtemos
(2x)^2 + (4 - 2y)^2 <= 4 Longrightarrow x^2 + (y -2)^2 <= 1
Isto é, o disco fechado de centro (0,2) e raio 1.

Passo 4

A segunda condição é
Im(z) > Re(z+2)
Como Im(z)=y e Re(z+2)=x+2, ela se traduz em
y > x + 2,
que é o semiplano aberto acima da reta de inclinação 45^circ,
y = x + 2

Passo 5

A região procurada é a interseção do disco
x^2 + (y -2)^2 <= 1
com o semiplano
y > x + 2
Para esboçar, trace:
– O círculo de raio 1 centrado em (0,2).
– A reta de equação y = x + 2, que passa por (0,2) formando 45^circ.
Essa reta corta o círculo nos pontos
x^2 + (x+2 -2)^2 =1 ;Longrightarrow; 2x^2=1 ;Longrightarrow; x=pmtfrac1raiz2, y=x+2
A parte válida é o segmento circular dentro do disco e estritamente acima da reta.

Resposta

A região é o segmento circular dado pela interseção do disco
x^2 + (y - 2)^2 <= 1
com o semiplano aberto
y > x + 2

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