Determine o conjunto
das desigualdades abaixo, onde
e o conjunto solução, para
.
Passo 1
Enunciado: Determinar o conjunto‐solução da inequação racional
. O conteúdo aqui é inequações racionais; vamos precisar achar o domínio, reescrever tudo em um único quociente e depois analisar o sinal.
Passo 2
Para inequações racionais, o primeiro passo é achar o domínio, isto é, onde os denominadores são diferentes de zero. Temos
e
, logo
e
.
Passo 3
Subtrai o segundo lado do primeiro para deixar tudo em um único quociente:
O denominador comum é
e o numerador fica:
Passo 4
Identifica os pontos críticos: zero do numerador em
e zeros dos denominadores em
e
. Esses valores dividem a reta em intervalos para análise de sinal.
Passo 5
Para cada intervalo, determina o sinal de numerador
e denominador
. A tabela de sinais fica:
Intervalo | sinal do numerador | sinal do denominador | sinal do quociente
(-∞, -5/3) | – | + | –
(-5/3, -29/24) | – | – | +
(-29/24, -2/3) | + | – | –
(-2/3, ∞) | + | + | +
(-∞, -5/3) | – | + | –
(-5/3, -29/24) | – | – | +
(-29/24, -2/3) | + | – | –
(-2/3, ∞) | + | + | +
A inequação
vale quando o quociente é negativo ou zero.
Passo 6
Combinando as informações, obtemos os intervalos onde a inequação é satisfeita:
e
. Não incluímos
nem
porque quebram o domínio, mas incluímos
pois zera o numerador.