Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
x+53 x+2 <= x-23 x+5

Passo 1

Enunciado: Determinar o conjunto‐solução da inequação racional x+53x+2 <= x-23x+5. O conteúdo aqui é inequações racionais; vamos precisar achar o domínio, reescrever tudo em um único quociente e depois analisar o sinal.

Passo 2

Para inequações racionais, o primeiro passo é achar o domínio, isto é, onde os denominadores são diferentes de zero. Temos 3x+2neq0 e 3x+5neq0, logo xneq -tfrac23 e xneq -tfrac53.

Passo 3

Subtrai o segundo lado do primeiro para deixar tudo em um único quociente:
x+53x+2 - x-23x+5 <= 0
O denominador comum é (3x+2)(3x+5) e o numerador fica:
(x+5)(3x+5)-(x-2)(3x+2)=24x+29

Passo 4

Identifica os pontos críticos: zero do numerador em x=-tfrac2924 e zeros dos denominadores em x=-tfrac23 e x=-tfrac53. Esses valores dividem a reta em intervalos para análise de sinal.

Passo 5

Para cada intervalo, determina o sinal de numerador 24x+29 e denominador (3x+2)(3x+5). A tabela de sinais fica:
Intervalo | sinal do numerador | sinal do denominador | sinal do quociente
(-∞, -5/3) | – | + | –
(-5/3, -29/24) | – | – | +
(-29/24, -2/3) | + | – | –
(-2/3, ∞) | + | + | +
A inequação <=0 vale quando o quociente é negativo ou zero.

Passo 6

Combinando as informações, obtemos os intervalos onde a inequação é satisfeita: x=-5/3 e x=-2/3. Não incluímos x=-tfrac2924 nem porque quebram o domínio, mas incluímos pois zera o numerador.

Resposta

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