Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
1x-1+2x-2-3x-3<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação fracionária
1x-1 + 2x-2 - 3x-3 < 0,
considerando xinR mas sem poder usar x=1, x=2 ou x=3 (estes valores anulam denominadores). O conteúdo aqui é análise de sinal de função racional.

Passo 2

Juntamos tudo em um único quociente sobre o mesmo denominador (x-1)(x-2)(x-3). O numerador fica
1cdot(x-2)(x-3) ;+;2cdot(x-1)(x-3);-;3cdot(x-1)(x-2)

Passo 3

Vamos expandir cada termo:
(x-2)(x-3)=x^2-5x+6, (x-1)(x-3)=x^2-4x+3, (x-1)(x-2)=x^2-3x+2
Logo o numerador total é
(x^2-5x+6) + 2(x^2-4x+3) - 3(x^2-3x+2) = x^2-5x+6 +2x^2-8x+6 -3x^2+9x-6 =-4x+6 =-4l(x-tfrac32r)

Passo 4

Assim a inequação original
-4l(x-tfrac32r)(x-1)(x-2)(x-3)<0
pode ser reescrita dividindo por -4 (que inverte o sinal):
x-tfrac32(x-1)(x-2)(x-3)>0
Os pontos críticos são x=1, x=3/2, x=2 e x=3.

Passo 5

Analisamos o sinal de
f(x)=x-tfrac32(x-1)(x-2)(x-3)
em cada intervalo determinado por 1<3/2<2<3:
  • Para x<1: numerador negativo, denominador (-)cdot(-)cdot(-)=(-) to f(x)>0.
  • Para 1<x<3/2: numerador negativo, denominador + to f(x)<0.
  • Para 3/2<x<2: numerador positivo, denominador + to f(x)>0.
  • Para 2<x<3: numerador positivo, denominador (-) to f(x)<0.
  • Para x>3: numerador positivo, denominador + to f(x)>0.

Passo 6

Como queremos f(x)>0, a solução é a união dos intervalos onde o sinal é positivo, excluindo 1,2,3 e 3/2 (onde f(x)=0 ou está indefinida).

Resposta

S = (-infty,1);cup;l(tfrac32,2r);cup;(3,infty)

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