Determine um conjunto gerador do subespaço vetorial W de V em cada um dos itens abaixo.
V=\mathbb{R}^{4}, W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y=0\right. e \left.z-t=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede um conjunto gerador de \displaystyle W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x+y=0,\;z-t=0\}.
O conteúdo é resolver um sistema de equações lineares para obter a forma paramétrica dos vetores em W.

Passo 2

Das equações
x+y=0,\quad z-t=0
segue que
y=-x,\quad t=z.
Definimos então parâmetros livres s=x e u=z. Assim todo vetor em W tem a forma
(x,y,z,t)=(s,\,-s,\;u,\;u) =s\,(1,-1,0,0)+u\,(0,0,1,1).

Passo 3

Como qualquer vetor de W é combinação linear de (1,-1,0,0) e (0,0,1,1), um conjunto gerador é
\{(1,-1,0,0),\;(0,0,1,1)\}.

Resposta

\{(1,-1,0,0),\,(0,0,1,1)\}

Exercícios relacionados