Determine um conjunto gerador do subespaço vetorial W de V em cada um dos itens abaixo.
V=\mathbb{R}^{4}, w=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y+z+w=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede um gerador para o subespaço
W = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y+z+w=0\}
do espaço vetorial V=\mathbb{R}^4. O conteúdo aqui é reconhecer que W é dado por uma equação linear homogênea em quatro variáveis, portanto \dim W=3 e podemos encontrar três vetores que gerem W.

Passo 2

Para descrever genericamente um vetor de W, podemos escolher três coordenadas livres, por exemplo y, z e w, e expressar
x = -\,(y+z+w).
Logo um vetor arbitrário de W fica
(x,y,z,w) = \bigl(-y-z-w,\;y,\;z,\;w\bigr).

Passo 3

Reescrevendo como combinação linear de parâmetros y,z,w, temos
(x,y,z,w) = y\,(-1,1,0,0)\;+\;z\,(-1,0,1,0)\;+\;w\,(-1,0,0,1).
Isso mostra que os vetores
v_1 = (-1,1,0,0), \quad v_2 = (-1,0,1,0), \quad v_3 = (-1,0,0,1)
geram todo W.

Resposta

Um conjunto gerador de W é
\{\,(-1,1,0,0),\;(-1,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\}.

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