Determine um conjunto gerador do subespaço vetorial W de V em cada um dos itens abaixo.
V=\mathbb{R}^{4}, W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 2 x+y-t=0\right. e \left.z=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede um conjunto gerador para o subespaço W\subset V=\mathbb{R}^4 definido pelas duas condições lineares
2x+y-t=0
e z=0. O conteúdo envolvido é entender como obter a forma paramétrica de um subespaço dado por equações lineares e extrair um gerador a partir dessa parametrização.

Passo 2

Reescrevemos as restrições de W\): \[\begin{cases} 2x + y - t = 0,\\\ z = 0. \end{cases}
A segunda já diz imediatamente (z=0]. Na primeira, escolhemos quais variáveis serão livres para expressar as outras em função delas.

Passo 3

Tomamos x e t como parâmetros livres. Da equação 2x+y-t=0 isolamos
y = t - 2x.
Logo qualquer vetor de W tem a forma
(x,y,z,t)=\bigl(x,\;t-2x,\;0,\;t\bigr).

Passo 4

Escrevemos a forma paramétrica em termos de x e t:
(x,y,z,t) = x\,(1,-2,0,0) \;+\; t\,(0,1,0,1).
Portanto, os vetores (1,-2,0,0) e (0,1,0,1) geram W.

Resposta

Um conjunto gerador de W é
\bigl\{(1,-2,0,0),\;(0,1,0,1)\bigr\}.

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