Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a)
e
b)
c)
d)
e
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede um conjunto de geradores (isto é, um spanning set) para cada subespaço definido por equações lineares. Vamos usar o método de resolver o sistema correspondente, expressar as incógnitas em função de parâmetros livres e então ler os vetores (ou matrizes, ou polinômios) que aparecem como geradores.
Passo 2
Para (a) temos
O sistema é
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira,
. Logo
com
. Um gerador de
é o vetor
.
Passo 3
Para (b) temos
Escolhemos
e
como parâmetros livres. Da equação vem
. Então
Dessa forma,
é gerado pelos vetores
e
.
Passo 4
Para (c) temos
Das condições
e
segue
e
. Tomando
e
, qualquer matriz em
é
portanto essas duas matrizes geram
.
Passo 5
Para (d) temos
Como
e
, seja
e
. Então
Logo
é gerado pelos polinômios
e
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)