Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) W=(x, y, z) in R^3 ; x+z=0 e x-2 y=0
b) W=(x, y, z) in R^3 ; x+2 y-3 z=0
c) W=(lla & b c & d) in M2(R) ; a+c=0 e d=0
d) W=x t^3+y t^2+z t+w in P3(R) ; y=z e x=0

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores (isto é, um spanning set) para cada subespaço definido por equações lineares. Vamos usar o método de resolver o sistema correspondente, expressar as incógnitas em função de parâmetros livres e então ler os vetores (ou matrizes, ou polinômios) que aparecem como geradores.

Passo 2

Para (a) temos
W=(x,y,z)in R^3;;x+z=0,;x-2y=0
O sistema é
x+z=0, x-2y=0
Da segunda equação vem x=2y. Substituindo na primeira, 2y+z=0implies z=-2y. Logo
(x,y,z)=(2y,y,-2y)=y,(2,1,-2),
com yin R. Um gerador de W é o vetor (2,1,-2).

Passo 3

Para (b) temos
W=(x,y,z)in R^3;;x+2y-3z=0
Escolhemos y=s e z=t como parâmetros livres. Da equação vem x=-2s+3t. Então
(x,y,z)=(-2s+3t,s,t)=s,(-2,1,0)+t,(3,0,1)
Dessa forma, W é gerado pelos vetores (-2,1,0) e (3,0,1).

Passo 4

Para (c) temos
Das condições e segue e . Tomando e , qualquer matriz em é
portanto essas duas matrizes geram .

Passo 5

Para (d) temos
W=,x t^3+y t^2+z t+win P3( R);;y=z,;x=0
Como x=0 e y=z, seja y=z=s e w=t. Então
pt^3+qt^2+rt+w = 0cdot t^3 + s,t^2 + s,t + t = s,(t^2+t) + tcdot1
Logo W é gerado pelos polinômios t^2+t e 1.

Resposta

a) (2,1,-2)
b) (-2,1,0),,(3,0,1)
c) l1&0-1&0,;0&10&0r
d) ,t^2+t,;1

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