Em cada item a seguir, encontre o menor número de geradores para o subespaço
.
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá quatro vetores em
:
,
,
e
. Precisamos encontrar o menor número de vetores que geram o subespaço
. O conteúdo envolve posto de um conjunto de vetores, dimensão de espaços vetoriais e independência linear.
Passo 2
Em teoria, o número mínimo de geradores de um subespaço é igual à sua dimensão, que corresponde ao tamanho de uma base — isto é, de um conjunto linearmente independente que gere todo o subespaço. Logo, buscamos extrair um subconjunto de vetores independentes e verificar se os demais são combinações lineares deles.
Passo 3
Observamos que
,
e
são justamente a base canônica de
, portanto são linearmente independentes. Assim já temos um conjunto de três vetores independentes.
Passo 4
Para ver se
adiciona algo novo, tentamos escrevê-lo como combinação linear de
:
Comparando coordenadas, obtém-se
,
,
, pois
Logo
, sendo, portanto, dependente dos três primeiros.
Passo 5
Como
não aumenta o conjunto independente, temos
e a dimensão desse subespaço é
. Portanto, o menor número de geradores é
.