Em cada item a seguir, encontre o menor número de geradores para o subespaço [v1, v2, ldots, vn].
v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1) e v4=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado nos dá quatro vetores em R^3: v1=(1,0,0), v2=(0,1,0), v3=(0,0,1) e v4=(1,2,3). Precisamos encontrar o menor número de vetores que geram o subespaço Spanv1,v2,v3,v4. O conteúdo envolve posto de um conjunto de vetores, dimensão de espaços vetoriais e independência linear.

Passo 2

Em teoria, o número mínimo de geradores de um subespaço é igual à sua dimensão, que corresponde ao tamanho de uma base — isto é, de um conjunto linearmente independente que gere todo o subespaço. Logo, buscamos extrair um subconjunto de vetores independentes e verificar se os demais são combinações lineares deles.

Passo 3

Observamos que v1, v2 e v3 são justamente a base canônica de R^3, portanto são linearmente independentes. Assim já temos um conjunto de três vetores independentes.

Passo 4

Para ver se v4 adiciona algo novo, tentamos escrevê-lo como combinação linear de v1,v2,v3:
v4 = alpha1 v1 + alpha2 v2 + alpha3 v3
Comparando coordenadas, obtém-se alpha1=1, alpha2=2, alpha3=3, pois
(1,2,3) = 1cdot(1,0,0) + 2cdot(0,1,0) + 3cdot(0,0,1)
Logo v4inSpanv1,v2,v3, sendo, portanto, dependente dos três primeiros.

Passo 5

Como v4 não aumenta o conjunto independente, temos
Spanv1,v2,v3,v4 = Spanv1,v2,v3,
e a dimensão desse subespaço é 3. Portanto, o menor número de geradores é 3.

Resposta

3

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