Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
$S=\left{\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) ; a=-d\right.) e \left.c=2 b\right\}
Passo 1
O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
S = \Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) \mid a=-d \text{ e } c=2b\Bigr\}.
O conteúdo aqui é reconhecer que essas duas condições são equações lineares em a,b,c,d e, portanto, descrever S como espaço gerado por alguns parâmetros livres.
Passo 2
Vamos escrever um elemento genérico de S. Sejam a e b parâmetros livres. Pelas condições temos
c = 2b, \quad d = -a.
Logo, todo X\in S pode ser escrito como
X = \begin{pmatrix}a & b\\\\ 2b & -a\end{pmatrix}.
Passo 3
Agora partimos X em combinação linear dos parâmetros a e b. Observe que
Verificamos que M_1 e M_2 são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial deles dá a matriz nula), logo formam uma base de S e, em particular, um conjunto de geradores.