Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
$S=\left{\left[ \begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) ; a=-d\right.) e \left.c=2 b\right\}

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
S = \Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) \mid a=-d \text{ e } c=2b\Bigr\}.
O conteúdo aqui é reconhecer que essas duas condições são equações lineares em a,b,c,d e, portanto, descrever S como espaço gerado por alguns parâmetros livres.

Passo 2

Vamos escrever um elemento genérico de S. Sejam a e b parâmetros livres. Pelas condições temos
c = 2b, \quad d = -a.
Logo, todo X\in S pode ser escrito como
X = \begin{pmatrix}a & b\\\\ 2b & -a\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora partimos X em combinação linear dos parâmetros a e b. Observe que
\begin{pmatrix}a & b\\\\ 2b & -a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & -1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1\\\\ 2 & 0\end{pmatrix}.
Isso mostra que qualquer elemento de S está em \Span\{M_1,M_2\}, onde
M_{1} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & -1\end{pmatrix}, \quad M_{2} = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ 2 & 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Verificamos que M_1 e M_2 são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial deles dá a matriz nula), logo formam uma base de S e, em particular, um conjunto de geradores.

Resposta

\Bigl\{ \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & -1\end{pmatrix}, \; \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ 2 & 0\end{pmatrix} \Bigr\}

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